Hiperbola

Jumat, 18 November 2022

 

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik eksentrisitasnya lebih besar dari satu. Berikut akan dicari persamaan hiperbola menggunakan defnisi ini. Diberikan titik tertentu F (focus) dan garis tertentu d (direktriks), maka hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang bergerak sedemikian sehingga perbandingan jaraknya dari titik F dan garis d konstan lebih besar dari 1, yaitu.

 

Terdapat dua macam bentuk hiperbola, yakni :

1.     hiperbola horizontal

2.     hiperbola vertical.

 

Untuk hiperbola vertical persamaannya didapat dengan cara memutar hiperbola horizontal 90°, Sedangkan untuk hiperbola dengan pusat M(p, q) persamaannya didapat dengan cara menggeser (translasi) hiperbola pusat O(0, 0) menurut matriks.

 

Berikut akan diuraikan proses mendapatkan persamaan hiperbola horizontal dengan pusat O(0, 0). Dengan memperhatikan garis d₁ tegak lurus dengan sumbu-x, maka terdapat titik A₁ pada sumbu-x dengan, dan terdapat titik A₂ pada sumbu-x sedemikian sehingga, sehingga A₁ dan A₂ terletak pada hiperbola.

Misalkan A₂ A₁ = 2a, dan O titik titik tengah, maka A₂O = A₁O = a. Akan ditentukan KO dan FO dalam suku-suku a dan e.

Karena          FA₁ = e . KA₁                 … (1)

A₂F = e . KA₂                 … (2)

maka diperoleh:     A₂F – FA₁ = e(KA₂ – KA₁)       dan

A₂F – FA₁ = 2a

Sehingga      e(KA₂ – KA₁) = 2a

e((a + OK) – (a – OK)) = 2a

e . 2OK = 2a

 

Dari (1) dan (2) diperoleh juga :        

FA₁ + A₂F = e . KA₁ + e . KA₂

FA₁ + A₂F = e . (KA₁ + KA₂)

(FO – a) + (FO + a) = e . ([a – KO] + [a + KO])

2.FO = e . 2a

FO = ea

 

Dari sini diperoleh koordinat titik focus F(–ea, 0)

Dengan mengambil titik P(x, y) sebarang titik pada hiperbola, maka persamaan

hiperbola diperoleh dari kondisiatau PF = e.PR.

Karena F(ea, 0) dan P(x, y), maka.

Karena PR = x – KO, maka.

Dengan demikian : PF = e.PR

   

                            

Ambil a²(e² – 1) = b². diperoleh : 

Jika ae = c maka diperoleh :    a²(e² – 1) = b²

                                                  a²e² – a² = b²

                                                   c² – a² = b² maka c² = a² + b²

Selanjutnya akan diuraikan unsur-unsur hiperbola dengan pusat di O(0, 0), yakni sebagai berikut:

Karena ae = c, maka nilai eksentrisitas hiperbola adalah.

Titik puncak hiperbola ada dua, yang kesemuanya berada pada sumbu-x, sehingga :

 

  

Titik puncaknya adalah A₁(a, 0), A₂(–a, 0).

 

Sumbu-x dinamakan sumbu nyata dan sumbu-y dinamakan sumbu sekawan.

Titik fokus hiperbola ada di F₁(c, 0) dan F₂(–c, 0).

Untuk menentukan persamaan direktris hiperbola terlebih dahulu dicari jarak dari O ke K yakni:

         

  

 

Maka persamaan direktriks hiperbola adalah.

Latus rectum adalah ruas garis yang melalui titik fokus hiperbola dan tegak lurus dengan sumbu nyata (sumbu-X). Panjang latus rectum diukur dari jarak kedua titik potongnya dengan hiperbola, sehingga untuk x = c diperoleh :

         

   

 

Sehingga panjang latus rectum :.

Perhatikan bentuk berakibat. Hal ini berarti  dan .

 

Jadi kurva hiperbola tidak pernah memotong atau menyinggung garisatau garisatau.

 

Kedua garis tersebut dinamakan asimtot hiperbola.

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Hiperbola. Please share...!