Elips – 1

Kamis, 17 November 2022

1.     Elips Horizontal dengan Pusat O(0, 0)

 

Bentuk Umum                              :

Nilai eksentrisitasnya                   :

Unsur-unsurnya        :

     Koordinat titik puncaknya di A₁(a, 0), A₂(–a, 0), B₁(0, b), dan B₂(0, –b)

     Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b

     Titik fokus di F₁(c, 0) dan F₂(–c, 0) dimana c² = a² – b²

      Persamaan garis direktriks dirumuskan :

      Panjang Latus rectum    :

 

2.     Elips Vertikal dengan Pusat O(0, 0)

 

Elips ini mempunyai bentuk Umum      :

Nilai eksentrisitasnya                             :

Unsur-unsurnya                                     :

      Titik puncaknya di A₁(0, a), A₂(0, –a), B₁(b, 0), dan B₂(–b, 0)

      Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b

      Titik focus di F₁(0, c) dan F₂(0, –c) dimana c² = a² – b²

      Garis direktriks dirumuskan :

       Panjang latus rectum dirumuskan :

 

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

 

1.     Tentukan koordinat titik puncak elips 9x² + 36y² = 324

 

Alternatif Pembahasan :

 

9x² + 36y² = 324

   

Maka      a = 6

b = 3

Sehingga koordinat titik puncaknya (6, 0), (–6, 0), (0, 3) dan (0, –3).

 

2.     Tentukan koordinat titik fokus elips 25x² + 16y² = 400

 

Alternatif Pembahasan :

 

25x² + 16y² = 400

   

Maka     a = 5 dan b = 4 sehingga.

Sehingga titik fokusnya F₁(0, 3) dan F₂(0, –3).

 

3.    Tentukan persamaan elips dengan titik puncaknya di (–6, 0) dan (6, 0) serta panjang sumbu mayor 20 satuan

 

Alternatif Pembahasan :

 

Elips ini berbentuk vertikal dengan puncak (–6, 0) dan (6, 0), maka b = 6

Panjang sumbu mayor 20 satuan sehingga 2a = 20

   a = 10

 

Jadi persamaan elips :

 

3.     Elips Horizontal dengan Pusat M(p, q)

 

Elips ini mempunyai bentuk Umum      :

Dengan nilai eksentrisitas                      :

 

Unsur-unsurnya :

     Koordinat titik puncaknya di  A₁(a + p, q), A₂(–a + p, q),  

                                                     B₁(a, b + p), B₂(a, –b + q)

     Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b

     Titik fokus di F₁(c + p, q) dan F₂(–c + p, q) dimana c² = a² – b²

     Persamaan garis direktriks dirumuskan :

      Panjang latus rectum :

 

4.     Ellips Vertikal dengan Pusat M(p, q)

 

Elips ini mempunyai bentuk Umum      :

Dengan nilai eksentrisitas                      :

Unsur-unsurnya :

      Koordinat titik puncaknya di A₁(p, a + q), A₂(p, –a + q),

                                                     B₁(p + b, q), B₂(p – b, q),

      Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b

      Titik fokus di             F₁(p, c + q)

F₂(p, –c + q)         dimana        c² = a² – b²

       Persamaan garis direktriks dirumuskan :

       Panjang latus rectum dirumuskan :.

 

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

 

1.     Diketahui persamaan elips 9x² + 4y² + 54x – 8y + 49 = 0

Tentukanlah :

(a)  Koordinat puncak elips                   (b)  Panjang latus rectum

 

Alternatif Pembahasan :

 

9x² + 4y² + 54x – 8y + 49 = 0

9x² + 54x + 4y² – 8y = – 49

9(x² + 6x + 9) + 4(y² – 2y + 1) = –49 + 9(9) + 4(1)

9(x + 3)² + 4(y – 1)² = 36

  

Maka a = 3, b = 2, p = –3 dan q = 1

 

Elips tersebut adalah elips vertical :

 

(a)  Koordinat titik puncak elips adalah :

 A₁(p, a + q)         →      A₁(–3, 3 + 1) = A₁(–3, 4)

 A₂(p, –a + q)       →      A₂(–3, –3 + 1) = A₂(–3, –2)

 B₁(p + b, q)         →      B₁(2 + (–3), 1) = B₁(–1, 1)

 B₂(p – b, q)          →      B₂(–2 + (–3), 1) = B₂(–5, 1)

 

(b)  Panjang Latus Rectum .

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Elips – 1. Please share...!