Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor

Kamis, 31 Agustus 2023

Jika dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut, perkalian skalar dua vector ini didefinisikan sebagai berikut.

·        Jika a = (a₁, a₂) dan b = (b₁, b₂) vektor-vektor di R², maka

a · b = a₁b₁ + a₂b₂

·        Jika a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃) vektor-vektor di R³, maka

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Dalam perkalian skalar dua vektor terdapat sifat-sifat berikut.

Dalam buku ini akan dibuktikan sifat 1 dan sifat 3. Untuk sifat-sifat lainnya, dapat dibuktikan sendiri.

Ambil sebarang vektor a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃), maka:

Misalkan a = a₁ȋ + a₂j̑ + a₃k̑ dan b = b₁ȋ + b₂j̑ + b₃k̑

a · b = (a₁ȋ + a₂j̑ + a₃k̑) · (b₁ȋ + b₂j̑ + b₃k̑)

 = a₁b₁ ȋ · ȋ + a₂b₁ ȋ · j̑ + a₃b₁ ȋ · k̑ + a₁b₂ȋ · ȋ + a₂b₂ j̑ · j̑ + a₃b₂ j̑ · k̑ +

     a₁b₃ ȋ · k̑ + a₂b₃ j̑ · k̑ + a₃b₁ k̑ · k̑

 

karena ȋ · ȋ = j̑ · j̑ = k̑ · k̑ = 1 dan karena ȋ, j̑, dan k̑ saling tegak lurus, maka ȋ · j̑ = ȋ · k̑ = j̑ · k̑ = 0 sehingga:

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

          = b₁a₁ + b₂a₂ + b₃a₃

= b · a

Jadi, a · b = b · a.

Ambil sebarang vektor a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) dan k skalar tak nol, maka:

k(a · b) = k(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)

   = (ka₁b₁ + ka₂b₂ + ka₃b₃)                 … (*)

   = (ka₁)b₁ + (ka₂)b₂ + (ka₃)b₃

   = (ka) · b

Dari persamaan (*), diperoleh

k(a · b) = a₁(kb₁) + a₂(kb₂) + a₃(kb₃) = a · (kb)

Perhatikan gambar berikut!

Proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor c.

Perhatikan segitiga AOB!

Pada segitiga AOB, .

Jadi, panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah .

Setelah mengetahui panjangnya, kalian dapat pula menentukan vector proyeksi tersebut, yaitu:

c = │c│× vektor satuan c

Oleh karena c berimpit dengan b maka vektor satuan c adalah .

Jadi, 

Sehingga proyeksi vektor a pada vektor b adalah vektor .

 

Contoh

Diketahui vektor a = (1, –1, 0) dan b = (–1, 2, 2). Tentukanlah:

a.     besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b

b.     panjang proyeksi vektor a pada vektor b

c.      vektor proyeksi a pada vektor b

 

Alternatif Pembahasan :

a.     Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b, terlebih dahulu tentukanlah a · b, │a│, dan │b│.

a · b = 1 · (–1) + (–1) · 2 + 0 · 2 = –1 – 2 = –3

Misalkan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b adalah 􀁔, maka:

Didapat θ = 135°.

 

b.     Misalkan vektor proyeksi a pada b adalah c, maka:

 

c.      Vektor proyeksi a pada b adalah

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor. Please share...!