A. Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan peserta didik
mampu:
1. Memahami konsep persamaan linear tiga variabel
dan penggunaannya dalam menyelesaikan kehidupan sehari-hari.
2. Menyusun sistem persamaan linear tiga variabel dari permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.
B.
Uraian Materi
Bentuk Umum SPLTV
Peserta didik sekalian, sistem persamaan linear tiga variabel
(SPLTV) merupakan system persamaan yang disusun oleh tiga persamaan linear
dengan tiga variabel yang sama. Seperti halnya sistem persamaan linear satu
variabel dan dua variabel yang telah kalian pelajari sebelumnya, sistem
persamaan linear tiga variabel juga dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. SPLTV dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai masalah
kontekstual yang berkaitan dengan permodelan secara matematis. Untuk lebih jelasnya
marilah kita menyimak ilustrasi berikut.
Seorang pedagang buah hendak memenuhi persediaan buah di kiosnya.
Berdasarkan penjualan sehari-hari ada tiga jenis buah yang banyak dicari oleh
pembeli, yaitu buah nanas, pisang, dan mangga. Namun karena keterbatasan modal
dia tidak dapat sekaligus membeli buah-buahan yang banyak
diminati tersebut. Oleh karenanya pedagang tersebut hanya dapat membeli jika
modal sudah terkumpul. Hari pertama modal yang terkumpul adalah Rp 2.640.000,00
sehingga pedagang tersebut dapat membeli 3 dus buah nanas, 2 dus buah pisang,
dan 5 dus buah mangga. Untuk hari kedua pedagang tersebut memperoleh modal Rp 1.510.000,00 dan dapat membeli 1 dus buah nanas, 3 dus buah
pisang, serta 2 dus buah mangga. Sedangkan untuk hari ketiga dengan modal Rp 2.750.000,00
pedagang tersebut dapat membeli 4 dus buah nanas, 5 dus buah pisang, dan 3 dus
buah mangga. Jika variabel x menunjukkan harga per dus buah nanas, variabel y menunjukkan
harga per dus buah pisang dan variabel z menunjukkan harga per dus buah mangga.
Bagaimana persamaan matematis yang dapat kalian bentuk dari permasalahan ini?
Silahkan kalian menyimak penjelasan berikut ini.
Untuk menyelesaikan masalah kontekstual di atas, variabel x, y dan
z sudah menunjukkan harga per dus buah masing masing. Jika diuraikan:
x = harga per dus buah nanas
y = harga per dus buah pisang
z = harga per dus buah manga
Maka, persamaan yang terbentuk.
Hari pertama : 3x + 2y + 5z = 2640000 persamaan (1)
Hari kedua : x +
3y + 2z = 1510000 persamaan
(2)
Hari ketiga : 4x + 5y
+ 3z = 2750000 persamaan (3)
Ketiga persamaan tersebut adalah persamaan
matematis yang dapat terbentuk dari permasalahan pedagang buah di atas. Dari
ilustrasi tersebut dapat dibuat system persamaan linear tiga variabel (SPLTV).
Peserta didik sekalian, mudah bukan? Apakah
kalian sudah memahami penjelasan di atas? Jika sudah marilah kita menyimpulkan
materi yang telah dipelajari dalam kesimpulan di bawah ini. Kesimpulan bentuk
umum dari persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut.
Sedangkan bentuk umum dari SPLTV adalah sebagai
berikut.
Keterangan:
⦁ Variabel
adalah x, y dan z
⦁ Koefisien
adalah a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3
⦁ Konstanta
adalah d1, d2, d3
Jika d1, d2, d3 masing-masing
bernilai nol, maka dinamakan sistem persamaan linear homogen, sedangkan jika
tidak semuanya bernilai nol, maka sistem persamaan linearnya dinamakan sistem
persamaan linear nonhomogen. Sekarang kalian pasti bertanya-tanya apa itu
sistem persamaan linear homogen dan non homogen? Untuk menjawab rasa penasaran
kalian silahkan membaca berbagai sumber bacaan tentang sistem persamaan linear
homogen dan nonhomogen. Kegiatan membaca ini pasti sangat menarik karena sekaligus
dapat meningkatkan kemampuan literasi kalian, betul demikian bukan?
Jika x = x0, y = y0, z = z0 memenuhi sistem persamaan tersebut, maka akan
berlaku hubungan:
Pasangan berurutan (x0 ,y0,
z0) disebut penyelesaian
dari sistem persamaan linear tiga variabel dan {(x0 ,y0, z0)} disebut himpunan
penyelesaian.
Berdasarkan pemaparan di atas beberapa langkah
dalam menyusun model matematika yang berbentuk SPLTV adalah sebagai
berikut.
1. Menyatakan atau menerjemahkan masalah ke dalam
bahasa yang mudah dipahami. Ini adalah problem real.
2. Mengidentifikasi berbagai konsep matematika dan
asumsi yang digunakan dan berkaitan dengan masalah. Ini adalah problem
matematika.
3. Merumuskan model matematika atau kalimat
matematika yang berkaitan dengan masalah. Ini adalah proses matematisasi.
4. Merumuskan SPLTV yang merupakan model matematika
dari masalah tersebut.
Contoh
1:
Jika umur ibu, 5 tahun yang akan datang mempunyai umur 3 tahun
kurangnya dari 10 kali lipat umur adik yang paling kecil. Ubahlah kalimat
tersebut dalam bentuk persamaan matematika!
Alternatif
Penyelesaian:
ü Permasalahan
di atas adalah umur ibu dan adik yang paling kecil. (Ini
adalah problem
real).
ü Untuk
menyederhanakan dan memudahkan langkah-langkah penyelesaiannya, maka digunakan
permisalan. (Ini adalah problem matematika).
ü Misalkan: x
= umur ibu
y = umur adik
ü Persamaan
matematikanya menjadi (Ini adalah proses matematisasi):
x + 5 = 10y – 3
Contoh
2:
Masa kehamilan rata-rata (dalam hari) dari gajah, badak, dan
kerbau apabila dijumlahkan adalah 1.520 hari. Masa kehamilan badak adalah 58
hari lebih lama daripada kerbau. Dua kali masa kehamilan kerbau kemudian
dikurangi 162 merupakan masa kehamilan gajah. Buatlah sistem persamaan linear
tiga variabel dari informasi tersebut!
Alternatif
Penyelesaian:
ü Permasalahan
di atas adalah masa kehamilan rata-rata (dalam hari) dari gajah, badak, dan
kerbau. (Ini adalah problem real).
ü Untuk
menyederhanakan dan memudahkan langkah-langkah penyelesaiannya, maka digunakan
permisalan. (Ini adalah problem matematika).
Misalkan: p = masa kehamilan gajah
q = masa kehamilan badak
r = masa kehamilan kerbau
ü Persamaan
matematikanya menjadi (Ini adalah proses matematisasi):
p + q + r = 1520 p + q + r = 1520
q = r + 58
q – r = 58
2r – 162 = p –p
+ 2r = 162
ü SPLTV
nya adalah sebagai berikut:
Dari dua contoh di atas, dapatkah kalian mencari
contoh-contoh lain penerapan SPLTV dalam kehidupan sehari-hari. Menurut kalian
apakah SPLTV bermanfaat untuk dipelajari? Mengapa?
C.
Rangkuman
1. Persamaan linear tiga variabel merupakan persamaan
linear yang memiliki atau memuat 3 jenis variabel. Bentuk umum persamaan linear
tiga variabel dapat dinyatakan sebagai ax + by + cz = d, di mana a, b, c
konstan dengan a, b, dan c tidak keduanya nol.
2. Dua atau lebih persamaan linear tiga variabel
dengan jenis variabel yang sama dapat membentuk sistem persamaan linear tiga
variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel dapat dinyatakan
sebagai:
3. Pasangan terurut (a, b, c) adalah penyelesaian sistem persamaan linear tiga variable apabila
nilai a, b dan c disubtitusikan ke dalam setiap persamaan menghasilkan pernyataan
yang benar.
Sumber
Thanks for reading Bentuk Persamaan Linear Tiga Variabel (PLTV). Please share...!
