A. Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan kalian dapat menjelaskan konsep pertidaksamaan rasional dan menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional, serta menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan rasional satu variabel.
B.
Uraian Materi
Pertidaksamaan
rasional adalah pertidaksamaan berbentuk pecahan dimana pembilang dan
penyebutnya mengandung variabel atau penyebutnya saja yang mengandung variabel.
Perhatikan beberapa pertidaksamaan berikut, manakah yang merupakan pertidaksamaan
rasional?
Pertidaksamaan
(a) dan (c) merupakan pertidaksamaan rasional karena penyebutnya mengandung
variabel x. Pertidaksamaan (b) dan (d) walaupun tampak berbentuk pecahan,
tetapi bukan pertidaksamaan rasional karena penyebutnya tidak mengandung
variabel. Pertidaksamaan (b) merupakan pertidaksamaan linear dan pertidaksamaan
(d) merupakan pertidaksamaan kuadrat.
Langkah-langkah
menyelesaikan pertidaksamaan rasional sebagai berikut:
1. Buat
ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol (bentuk umum).
2. Faktorkan
fungsi pembilang dan penyebut ke dalam faktor-faktor linear apabila fungsi
pembilang atau penyebut berupa polinomial derajat lebih dari 1.
3. Tentukan
titik-titik kritis (pembuat nol) pada fungsi pembilang dan penyebut.
4. Gambar
letak titik-titik kritis (pembuat nol) fungsi pembilang dan penyebut pada pada
garis bilangan, sehingga diperoleh beberapa daerah (interval).
5. Tentukan
daerah (interval) bertanda positif dan negatif dengan cara mengambil satu titik
di setiap daerah sebagai titik uji. Substitusikan titik uji ke pertidaksamaan
dan tentukan tandanya saja (apakah + atau -)
6. Tulis
tanda-tanda titik uji tersebut pada daerah dimana titik uji berada pada garis bilangan.
7. Daerah
yang memenuhi penyelesaian adalah daerah yang memiliki tanda sesuai dengan
tanda pertidaksamaannya.
Contoh 1
Tentukan
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 
.
Alternatif Penyelesaian:
Pada soal di
atas, ruas kanan pertidaksamaan sudah sama dengan nol. Pembilang dan penyebut
sudah dalam bentuk linear, sehingga kita dapat langsung menentukan titik kritis
atau pembuat nolnya sebagai berikut.
Titik kritis (pembuat nol):
Pada pembilang: x – 1 = 0 Û x =
1
Pada penyebut: x + 5 = 0 Û x =
–5
(ingat, x = -5 tidak termasuk penyelesaian).
Selanjutnya kita akan menggambar letak titik kritis (pembuat nol) pada garis
bilangan.
Ingat, titik kritis yang diperoleh dari penyebut digambar dengan tanda bulat
kosong.
Pada garis
bilangan di atas, kita peroleh tiga daerah (interval), yaitu daerah x <
–5, daerah –5 < x £ 1, dan daerah x ³ 1.
Pada
masing-masing daerah kita ambil sembarang bilangan sebagai titik uji untuk menentukan
tanda dari setiap daerah seperti pada tabel berikut.
Sehingga
diperoleh tanda untuk setiap daerah seperti gambar berikut.
Langkah
terakhir adalah menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan dengan memperhatikan
tanda pertidaksamaan pada soal.
Pertidaksamaan memiliki tanda £ 0, berarti himpunan penyelesaiannya adalah
yang bertanda negatif atau nol.
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {x | –5 < x ≤ 1, x Î R}.
Contoh 2
Tentukan
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 
.
Alternatif Penyelesaian:
Pada soal di
atas, ruas kanan pertidaksamaan sudah sama dengan nol. Pembilang dalam bentuk
linear sedangkan penyebut dalam bentuk kuadrat, sehingga penyebut perlu difaktorkan
ke bentuk linear.
Titik kritis
(pembuat nol):
Pada pembilang: 2x – 6 = 0 Û 2x =
6 Û x = 3
Pada penyebut: x + 2 = 0 Û x =
–2
x
– 4 = 0 Û x = 4
(ingat,
x = –2 dan x = 4 tidak termasuk
penyelesaian).
Gambar letak
titik kritis (pembuat nol) pada garis bilangan dan pengujian tanda setiap daerah
(interval).
Pada garis
bilangan di atas, kita peroleh empat daerah (interval), yaitu daerah x <
–2, daerah –2 < x £ 3, daerah 3 £ x <
3, dan daerah x > 4.
Pengujian tanda setiap daerah pada tabel berikut.
Pertidaksamaanmemiliki tanda > 0, berarti
himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda positif.
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {x | –2 < x £ 3 atau x
> 4, x Î R}
Contoh 3.
Tentukan
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 
.
Alternatif
Penyelesaian:
Pada soal di
atas, ruas kanan pertidaksamaan tidak sama dengan nol, sehingga perlu diubah ke
bentuk umum berikut ini.
Titik kritis
(pembuat nol):
Pada pembilang: 4x – 36 = 0 Û x =
9
Pada
penyebut: x + 3 = 0 Û x
= –3 (tidak termasuk penyelesaian)
x – 5 = 0 Û x = 5 (tidak termasuk penyelesaian)
Gambar letak
titik kritis (pembuat nol) pada garis bilangan dan pengujian tanda setiap daerah (interval).
Sehingga
diperoleh tanda untuk setiap daerah seperti gambar berikut.
Pertidaksamaan 
memiliki tanda £ 0,
berarti himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif atau nol.
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < –3 atau 5 < x £ 9, x
Î R}.
Sumber
Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 1: Pertidaksamaan Rasional Satu Variabel. Please share...!
