Kegiatan Pembelajaran 1: Pertidaksamaan Rasional Satu Variabel 1

Minggu, 08 Oktober 2023

Pertidaksamaan Rasional yang Memuat Faktor Persekutuan Pembilang dan Penyebut

 

Apabila terdapat faktor persekutuan pada pembilang dan penyebut dari suatu pertidaksamaan rasional, maka kita tidak boleh menyederhanakan pertidaksamaan tersebut dengan cara mencoret faktor persekutuan itu.

Contoh 4.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan .

Alternatif Penyelesaian:

Faktorkan pembilang ke faktor linear:

Pada pertidaksamaan di atas, terdapat faktor persekutuan pada pembilang dan penyebut, yaitu (x – 3). Kita tidak boleh menyederhanakan dengan mencoret faktor persekutuan tersebut.

Lalu bagaimana solusinya? Nah, untuk masalah ini kita dapat selesaikan dengan cara mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan bentuk kuadrat dari faktor persekutuan tersebut, yaitu (x – 3)² dengan syarat x ¹ 3.

Bentuk (x – 3)² dimana x ¹ 3 sudah jelas bernilai positif, sehingga perkalian kedua ruas dengan bentuk (x – 3)² dimana x ¹ 3 tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan.
Sehingga diperoleh:

Nilai kritis: x + 5 = 0 ⇔ x = –5

                   x – 3 = 0 ⇔ x = 3    (ingat, nilai x = 3 tidak termasuk

penyelesaian)

 

Gambar letak titik kritis (pembuat nol) pada garis bilangan dan pengujian tanda setiap daerah (interval).

Pertidaksamaan  memiliki tanda ≥ 0, berarti himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda positif atau nol.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x ≥ –5 dan x ¹ 3, x ∊ R}.

 

Pertidaksamaan Rasional yang Memuat Fungsi Definit

Pada materi fungsi kuadrat, kita mengenal ada fungsi yang selalu bernilai positif untuk setiap x bilangan real, disebut definit positif. Demikian juga ada fungsi yang selalu bernilai negatif untuk setiap x bilangan real, disebut definit negatif.

Fungsi kuadrat f (x) = ax² + bx + c dengan nilai diskriminan D = b² – 4ac dikatakan definit positif jika a > 0 dan D < 0. Fungsi f (x) = ax² + bx + c dikatakan definit negative jika a < 0 dan D < 0.

Nah, jika suatu pertidaksamaan rasional memuat fungsi definit, maka kita dapat menentukan penyelesaiannya dengan menggunakan cara berikut.

 

Contoh 5.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan .

Alternatif Penyelesaian:

(x² + 2) merupakan fungsi definit positif. Ini dapat dilihat dari nilai a = 1 > 0 dan D = 0² – 4(1)(2) = –8 < 0. (Ingat, syarat definit positif adalah a > 0 dan D < 0).

Jadi, (x² + 1) dapat dihilangkan dan tanda pertidaksamaan tetap, sehingga diperoleh:

Titik kritis (pembuat nol)

Pada pembilang:   x – 2 = 0 ⇔ x = 2   (tidak termasuk penyelesaian

karena tanda “<”)

Pada penyebut:     x = 0 (tidak termasuk penyelesaian).

 

Gambar letak titik kritis pada garis bilangan dan pengujian tanda setiap interval:

Pertidaksamaan  memiliki tanda < 0, berarti himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | 0 < x < 2, x ∊ R}.

Contoh 6.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan .

Alternatif Penyelesaian:

 

(–x² + x – 1) merupakan fungsi definit negatif. Ini dapat dilihat dari nilai a = –1 < 0 dan D = 12 – 4(–1)( –1) = –3 < 0. (Ingat, syarat definit negatif adalah a < 0 dan D < 0).

Jadi, (–x² + x – 1) dapat dihilangkan tetapi tanda pertidaksamaan harus dibalik, sehingga diperoleh:

Titik kritis (pembuat nol)

Pada penyebut:    x + 1 = 0 ⇔ x = –1 (tidak termasuk penyelesaian)
                             x – 4 = 0 ⇔ x = 4 (tidak termasuk penyelesaian)

Gambar letak titik kritis pada garis bilangan dan pengujian tanda setiap interval:

Pertidaksamaanmemiliki tanda ≤ 0, berarti himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif atau nol.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | –1 < x < 4, x ∊ R}.

Contoh 7.

Ketika suatu telepon genggam (handphone) baru diluncurkan di pasar, penjualan mingguan umumunya meningkat secara cepat dalam suatu periode waktu tertentu. Selanjutnya penjualan mingguan mulai menurun. Misalnya penjualan mingguan telepon genggam tersebut t minggu setelah diluncurkan dinyatakan oleh  dengan P dalam ratusan. Kapan penjualan mencapai 800 unit atau lebih per minggu?

Alternatif Penyelesaian:

Banyak penjualan per minggu adalah  dengan P dalam ratusan.

Penjualan mencapai 800 unit atau lebih per minggu, berarti diperoleh pertidaksamaan:

Interval waktu penjualan mencapai 800 unit atau lebih per minggu dapat diperoleh dengan mencari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:

(t² + 100) merupakan fungsi definit positif. Ini dapat dilihat dari nilai a = 1 > 0 dan D = 0² – 4(1)(100) = –400 < 0. (Ingat, syarat definit positif adalah a > 0 dan D < 0).

Jadi, (t² + 1) dapat dihilangkan dan tanda pertidaksamaan tetap, sehingga diperoleh:

Titik kritis (pembuat nol)
t – 5 = 0      ⇔      t = 5
t – 20 = 0    ⇔      t = 20

Gambar letak titik kritis pada garis bilangan dan pengujian tanda setiap interval:

Pertidaksamaan (t – 5)(t – 20) ≤ 0 memiliki tanda ≤ 0, berarti himpunan penyelesaiannya adalah yang bertanda negatif atau nol, yaitu 5 ≤ t < 20.

Jadi, penjualan telepon genggam mencapai 800 unit atau lebih setelah diluncurkan di pasar antara 5 minggu sampai 20 minggu.

C. Rangkuman

 

·     Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan berbentuk pecahan dimana pembilang dan menyebutnya mengandung variabel atau penyebutnya saja yang mengandung variabel.

·     Bentuk umum dari pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan pecahan adalah:

dengan f(x) sebagai fungsi pembilang dan g(x) sebagai fungsi penyebut dan g(x)¹ 0.

·     Hal yang tidak dibenarkan dalam penyederhanaan bentuk pertidaksamaan
rasional karena akan mengubah domain fungsi, yaitu:
a. Perkalian silang ruas kiri dan ruas kanan

   

b. Mencoret faktor yang sama pada pembilang dan penyebut

   

·     Pertidaksamaan rasional yang memuat fungsi definit dapat diselesaikan dengan cara:

a.     Fungsi definit positif dapat dihilangkan dan tanda pertidaksamaan tetap.

b.     Fungsi definit negatif dapat dihilangkan tetapi dengan syarat tanda pertidaksamaan harus dibalik.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 1: Pertidaksamaan Rasional Satu Variabel 1. Please share...!