Setelah
kegiatan pembelajaran 2 ini diharapkan peserta didik:
1. Terampil
melakukan operasi aljabar yang melibatkan sistem persamaan linear tiga variabel
serta penggunaannya untuk menyelesaikan masalah kontekstual dalam kehidupan
sehari-hari.
2. Terbentuk dan memiliki sikap kemandirian, bertindak logis, tidak mudah menyerah dan percaya diri menggunakan matematika untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari.
B. Uraian Materi
1. Metode Penyelesaian SPLTV
Para peserta
didik sekalian, tentu kalian ingat dengan ilustrasi penjual buah yang telah dipelajari
pada Kegiatan. Pembelajaran 1. Apakah
kalian merasa bahwa materi yang dipelajari pada Kegiatan Pembelajaran 1 belum
lengkap? Jika iya, apakah kalian tahu penyebabnya? Ya, betul sekali pada
Kegiatan Pembelajaran 1 kalian belum mempelajari bagaimana mencari penyelesaian
dari SPLTV. Pasti kalian sudah penasaran bukan? Baiklah mari kita melanjutkan
pada Kegiatan Pembelajaran 2.
Pada
Kegiatan Pembelajaran 2 ini kalian akan mempelajari metode atau teknik dalam menyelesaikan
SPLTV. Kita akan mulai dengan melanjutkan mencari penyelesaian permasalahan
penjual buah. Tentu kalian masih ingat bukan masalah yag dihadapi oleh penjual
buah tersebut? Ilustrasi masalah di kios buah. Seorang pedagang buah
hendak memenuhi persediaan buah di kiosnya. Berdasarkan penjualan sehari-hari
ada tiga jenis buah yang banyak dicari oleh pembeli, yaitu buah nanas, pisang,
dan mangga. Namun karena keterbatasan modal dia tidak dapat sekaligus membeli
buah-buahan yang banyak diminati tersebut. Oleh karenanya pedagang tersebut
hanya dapat membeli jika modal sudah terkumpul. Hari pertama modal yang
terkumpul adalah Rp 2.640.000,00 sehingga pedagang tersebut dapat membeli 3 dus
buah nanas, 2 dus buah pisang, dan 5 dus buah mangga. Untuk hari kedua pedagang
tersebut memperoleh modal Rp 1.510.000,00 dan dapat membeli 1 dus buah nanas, 3
dus buah pisang, serta 2 dus buah mangga. Sedangkan untuk hari ketiga dengan
modal Rp 2.750.000,00 pedagang tersebut dapat membeli 4 dus buah nanas, 5 dus buah
pisang, dan 3 dus buah mangga. Variabel x menunjukkan harga per dus buah nanas,
variabel y menunjukkan harga per dus buah pisang dan variabel z menunjukkan
harga per dus buah mangga. Untuk merapikan pembukuan keuangannya penjual buah
harus membuat laporan pengeluaran setiap hari. Jika pengeluaran yang ditulis
pada pembukuan dinyatakan dalam satuan dus, apa yang harus dilakukan oleh
penjual buah tersebut? Dapatkah kalian membantu penjual buah menyelesaikan
laporan keuangannya? Untuk membantu penjual buah menyelesaikan masalahnya, silahkan menyimak penjelasan berikut
ini.
Hal pertama
yang harus dilakukan oleh penjual buah tersebut adalah menentukan harga per dus
buah nanas, pisang, dan mangga. Bagaimana caranya? Apakah kalian tahu?
Ada beberapa
metode untuk menenentukan penyelesaian SPLTV. Pada kegiatan kali ini ada tiga
metode yang dapat dipelajari, ialah sebagai berikut.
1.
Metode
Substitusi
2.
Metode
Eliminasi
3.
Metode
Substitusi dan Eliminasi (Campuran)
Berikut
adalah penjelasan dari ketiga metode penyelesaian sistem persamaan linear tiga
variabel (SPLTV).
1. Metode Substitusi
Untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan metode substitusi,
digunakan langkah langkah sebagai berikut.
· Langkah
1
Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana kemudian nyatakan salah satu variable
ke dalam dua variabelnya lainnya. Misalkan dipilih persamaan linear kedua dan
kita nyatakan x ke dalam variabel y dan z.
· Langkah
2
Substitusikan/masukkan persamaan di langkah 1 kedalam kedua persamaan yang lain
sehingga terbentuk sistem persamaan linear dua variabel yang baru.
· Langkah
3
Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang baru untuk menentukan
nilai y dan z. Substitusikan kedua nilai ini untuk menentukan nilai x sehingga
diperoleh penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel.
Contoh:
Dari
ilustrasi masalah penjual buah diperoleh SPLTV berikut.
Dengan
menggunakan metode substitusi kita dapat menentukan nilai x, y, dan z.
Alternatif
Penyelesaian:
3x + 2y + 5z = 2640000 … (1)
x
+ 3y + 2z = 1510000 … (2)
4x + 5y + 3z = 2750000 … (3)
Persamaaan
(2) diubah kedalam fungsi y dan z, diperoleh:
x = 1510000 – 3y – 2z … (4)
Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (1), diperoleh:
3(1510000 – 3y – 2z) + 2y + 5z = 2640000
4530000 – 9y – 6z + 2y + 5z
= 2640000
– 7y
– z = – 1890000
7y
+ z = 1890000 … (5)
Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (3), diperoleh:
4(1510000
– 3y – 2z) + 2y + 5z = 2750000
6040000 – 12y – 8z + 5y + 3z
= 2750000
– 7y
– 5z = – 3290000
7y
+ 5z = 3290000 … (6)
Persamaaan
(5) diubah kedalam fungsi y,
diperoleh:
z = 1890000 – 7y … (7)
Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (6), diperoleh:
7y + 5(1890000 – 7y) = 3290000
7y
+ 9450000 – 35y = 3290000
– 28y
= – 6160000
y =
220000 … (8)
Substitusikan persamaan (8) ke persamaan (7), diperoleh:
z
= 1890000 – 7(220000)
z
= 1890000 – 1540000
z
= 350000 … (9)
Substitusikan persamaan (8) dan (9) ke persamaan (4), diperoleh:
x = 1510000 – 3(220000) – 2(350000)
x = 1510000 – 660000 – 700000
x = 1510000 – 1360000
x = 150000
Dari langkah-langkah penyelesaian di atas diperoleh x = 150000, y = 220000, dan
z = 350000. Jika dikembalikan ke permisalan diperoleh harga per dus buah nanas
adalah Rp 150.000,00, harga per dus buah pisang adalah Rp 220.000,00, dan harga
per dus buah mangga adalah Rp 350.000,00. Bagaimana peserta didik sekalian?
Mudah bukan? Apakah di antara kalian masih ada yang kesulitan memahami metode
substitusi? Jika iya, kalian dapat membaca kembali dan memahami satu per satu langkah-langkah
penyelesaiannya.
2. Metode Eliminasi
Adapun
langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode eliminasi adalah sebagai
berikut.
· Langkah
1:
Pilih persamaan yang memuat bentuk variabel yang paling sederhana. Eliminasi
atau hilangkan salah satu variabel (misal x)
sehingga diperoleh sistem persamaan dua variabel.
· Langkah
2:
Eliminasi salah satu variabel dalam sistem persamaan dua variabel (misal y) sehingga diperoleh nilai salah satu
variabel. Eliminasi variabel lainnya (yaitu z)
untuk memperoleh nilai variabel yang kedua.
· Langkah
3:
Tentukan nilai variabel ketiga (yaitu x)
berdasarkan nilai (y dan z) yang diperoleh.
Contoh:
Dari
ilustrasi masalah penjual buah diperoleh SPLTV berikut.
Dengan
menggunakan metode eliminasi kita dapat menentukan nilai x, y, dan z.
Alternatif
Penyelesaian:
3x + 2y + 5z = 2640000 … (1)
x
+ 3y + 2z = 1510000 … (2)
4x + 5y + 3z = 2750000 … (3)
Eliminasi
variabel x menggunakan persamaan (2)
dan (1):
x + 3y + 2z = 1510000│x3│3x + 9y
+ 6z = 4530000
3x + 2y + 5z =
2640000│x1│3x + 2y + 5z =
2640000 _
7y + z = 1890000 …
(4)
Eliminasi variabel x menggunakan
persamaan (2) dan (3):
x + 3y + 2z = 1510000 │x4│4x + 12y
+ 8z = 6040000
4x + 5y + 3z =
2750000 │x1│3x + 2y + 5z = 2640000 _
7y + 5z = 3290000 … (5)
Eliminasi variabel y menggunakan
persamaan (4) dan (5):
7y + z = 1890000
7y + 5z = 3290000 _
– 4z
= – 1400000
.gif){kind=small}
z = 350000
Eliminasi variabel
z menggunakan persamaan (4) dan (5):
7y
+ z = 1890000│x5│35y + 5z
= 9450000
7y
+ 5z = 3290000│x1│ 7y + 5z = 3290000 _
28y
= 6160000
y = 220000
x = 1510000 – 3(220000) – 2(350000)
x = 150000
Dari
langkah-langkah penyelesaian di atas diperoleh x = 150000, y = 220000,
dan z = 350000. Jika dikembalikan ke
permisalan diperoleh harga per dus buah nanas adalah Rp 150.000,00, harga per
dus buah pisang adalah Rp 220.000,00, dan harga per Poll Apakah di antara
kalian masih ada yang kesulitan memahami metode eliminasi? Jika iya, kalian dapat
membaca kembali dan memahami satu per satu langkah-langkah penyelesaiannya. Bandingkan
antara metode substitusi dan eliminasi, manakah di antara keduanya yang menurut
kalian lebih mudah?
3. Metode Eliminasi – Substitusi (Campuran)
Untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan metode eliminasi,
menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.
· Langkah
1
Pilihlah variabel mana dari persamaan yang mau dihilangkan atau dieliminasi,
misalkan variabel x yang akan
dieliminasi. Samakan koefi sien x
pada persamaan
pertama dan persamaan kedua, dengan cari mengalikan persamaan dengan bilangan
sehingga tetap ekivalen. Kurangkan persamaan dengan persamaan kedua sehingga
diperoleh persamaan linear dua variabel baru yang pertama.
· Langkah
2
Samakan koefi sien x pada persamaan
pertama dan persamaan ketiga, dengan cari
mengalikan persamaan dengan sebuah sehingga tetap ekivalen. Kurangkan persamaan
dengan persamaan ketiga sehingga diperoleh persamaan linear dua variabel baru
yang
ke dua.
· Langkah
3
Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang baru sehingga diperoleh
nilai y
dan z. Substitusikan nilai y dan x ke salah satu persamaan tiga variabel
untuk
memperoleh nilai x.
Contoh:
Dari
ilustrasi masalah penjual buah diperoleh SPLTV berikut.
Dengan
menggunakan metode eliminasi – substitusi kita dapat menentukan nilai x, y, dan
z.
Alternatif
Penyelesaian:
3x + 2y + 5z = 2640000 … (1)
x
+ 3y + 2z = 1510000 … (2)
4x + 5y + 3z = 2750000 … (3)
Eliminasi variabel x menggunakan persamaan (2) dan (1):
x + 3y + 2z = 1510000│x3│3x + 9y
+ 6z = 4530000
3x + 2y + 5z =
2640000│x1│3x + 2y + 5z =
2640000 _
7y + z = 1890000 …
(4)
Eliminasi variabel x menggunakan persamaan (2) dan (3):
x + 3y + 2z = 1510000│x4│4x + 12y
+ 8z = 6040000
4x + 5y + 3z =
2750000│x1│3x + 2y + 5z = 2640000 _
7y + 5z = 3290000 … (5)
Eliminasi variabel y menggunakan persamaan (4) dan (5):
7y + z = 1890000
7y + 5z = 3290000 _
– 4z
= – 1400000
z = 350000 … (6)
Sustitusikan persamaan (6) ke persamaan (4), diperoleh:
7y + 350000
= 1890000
7y = 1890000 – 350000
7y = 1540000
y = 220000 … (7)
Substitusikan persamaan (6) dan (7) ke pesamaan (2), diperoleh:
x = 1510000 – 3(220000) – 2(350000)
x = 150000
Dari
langkah-langkah penyelesaian di atas diperoleh x = 150000, y = 220000,
dan z = 350000. Jika dikembalikan ke
permisalan diperoleh harga per dus buah nanas adalah Rp 150.000,00, harga per
dus buah pisang adalah Rp 220.000,00, dan harga per dus buah mangga adalah Rp
350.000,00. Bagaimana peserta didik sekalian? Mudah bukan? Apakah di antara kalian masih ada yang kesulitan memahami metode eliminasi –substitusi? Jika iya, kalian dapat membaca kembali dan memahami satu per satu
langkah-langkah penyelesaiannya. Bandingkan antara ketiga metode yang sudah
kalian pelajari, manakah di antara ketiganya yang menurut kalian lebih mudah?
Dalam kasus lain, dengan SPLTV yang sama, maka dapat dikatakan bahwa penyelesaian SPLTV adalah (150000,
220000, dan 350000). Sedangkan himpunan penyelesaian HP = {(150000, 220000, 350000)}
Sumber
Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 2: Metode Penyelesaian Dan Penerapan SPLTV. Please share...!
