Kegiatan Pembelajaran 2: Pertidaksamaan Irasional Satu Variabel

Rabu, 11 Oktober 2023

 

A.   Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 2 ini diharapkan kalian dapat menjelaskan konsep pertidaksamaan irasional dan menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional, serta menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan irasional satu variabel.

B.   Uraian Materi

Pertidaksamaan irasional atau pertidaksamaan bentuk akar adalah suatu pertidaksamaan yang mengandung variabel pada bentuk akarnya.
Untuk semesta bilangan real, pertidaksamaan irasional akan terdefinisi jika syarat akar terpenuhi yaitu fungsi yang berada dibawah tanda akar bernilai lebih dari atau sama dengan nol.

Contoh pertidaksamaan irasional:

 

Bentuk-bentuk pertidaksamaan irasional (bentuk akar) dan cara menentukan himpunan penyelesaiannya sebagai berikut:

1.     Bentuk  atau  

a.   Bentuk  dengan c > 0
Syarat untuk menentukan penyelesaian adalah:
(i).  f(x) ≥ 0
(ii). f(x) > a²        (kuadratkan kedua ruas)

Solusi dari pertidaksamaan adalah irisan dari (i) dan (ii).

Bentuk  dengan c < 0 cukup diselesaikan dengan f(x) ≥ 0.

Contoh 1.
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 
Alternatif Penyelesaian:

Syarat:
(i).  2x – 2 ≥ 0    ⇔  2x ≥ 2   ⇔  x ≥ 1
(ii). 2x – 2 > 4²  ⇔  2x ≥ 16 + 2
                           ⇔  2x > 18 ⇔  x > 9

Irisan dari (i) dan (ii) adalah x > 9.

 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 9,  x ∊ R}

 

Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 

Alternatif Penyelesaian:

Karena ruas kanan < 0, maka penyelesaiannya adalah:

        2x – 6 ≥ 0  ⇔  2x ≥ 6  ⇔  x ≥ 3

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x ≥ 3, x ∊ R}.

 

b.  Bentuk dengan c > 0
Syarat untuk menentukan penyelesaian adalah:
(i).  f(x) ≥ 0
(ii). f(x) < a²        (kuadratkan kedua ruas)

 

Solusi dari pertidaksamaan adalah irisan dari (i) dan (ii).

 

Contoh 3.
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 
Alternatif Penyelesaian:

Syarat:
(i).  3x + 1 ≥ 0     ⇔  3x ≥ –1  ⇔  x ≥ – ⅓
(ii). 3x + 1 £ 4²    ⇔  3x + 1 £ 16
                                        ⇔  3x £ 16 – 1
                                        ⇔  3x £ 15 ⇔ x £ 5

Irisan dari (i) dan (ii) adalah

 

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | – ⅓ £ x £ 5, x ∊ R}.

 

2.     Bentuk  atau  

a.   Bentuk Syarat untuk menentukan penyelesaian adalah:

(i).   f(x) ≥ 0
(ii).  g(x) ≥ 0
(iii). f(x) > g(x)     (kuadratkan kedua ruas)

 

Solusi dari pertidaksamaan adalah irisan dari (i), (ii), dan (iii).

 

Contoh 4.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 
Alternatif Penyelesaian:

Syarat:
(i).   x + 4 ≥ 0      ⇔  x ≥ –4

(ii).  2x – 1 ≥ 0    ⇔  x ≥ ½
(iii). Kuadratkan kedua ruas:
            ⇔  x + 4 > 2x – 1
                                                        ⇔  x – 2x > –1 – 4
                                                        ⇔  –x > –5
                                                        ⇔  x < 5

Irisan dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | ½ ≤ x < 5, x ∊ R}.

 

b.  Bentuk 
Syarat untuk menentukan penyelesaian adalah:

(i).   f(x) ≥ 0
(ii).  g(x) ≥ 0

(iii). f(x) < g(x)     (kuadratkan kedua ruas)

 

Solusi dari pertidaksamaan adalah irisan dari (i), (ii), dan (iii).

 

Contoh 5.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 
Alternatif Penyelesaian:

Syarat:
(i).   x² – 2x ≥ 0 ⇔  x(x – 2) ≥ 0  ⇔  x £ 0 atau x ³ 2
(ii).  3x – 6 ≥ 0  ⇔  3x ≥ 6           ⇔  x ≥ 2
(iii). Kuadratkan kedua ruas:
        ⇔  x² – 2x < 3x – 6
                                                         ⇔  x² – 5x + 6 < 0
                                                         ⇔  (x – 2(x – 3) < 0
                                                         ⇔  2 < x < 3

Irisan dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | 2 < x < 3, x ∊ R}.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 2: Pertidaksamaan Irasional Satu Variabel. Please share...!