Kegiatan Pembelajaran 2: Pertidaksamaan Irasional Satu Variabel – 1

Kamis, 12 Oktober 2023

3.     Bentuk  atau  

a.   Bentuk 

Syarat untuk menentukan penyelesaian adalah:

(i)           f(x) ≥ 0

(ii)        g(x) > 0

(iii)      f(x) < g(x)      (kuadratkan kedua ruas)

 

Solusi dari pertidaksamaan adalah irisan dari (i), (ii), dan (iii).

 

Contoh 6.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 
Alternatif Penyelesaian:

Syarat:
(i).   4 – x²   ⇔  x² – 4 ≤ 0   … kedua ruas dikali dengan (-1)

                    ⇔  (x + 2)(x – 2) ≤ 0

                    ⇔  –2 ≤ x ≤ –2

(ii).  x – 2 > 0  ⇔  x > –2
(iii). Kuadratkan kedua ruas:
            4 – x²   ⇔  4 – x² < x² – 4x + 4  

                        ⇔  0 < x² – 4x + 4 + x² – 4

                        ⇔  2x² + 4x > 0

                        ⇔  x(x + 2) > 0

                        ⇔  x < –2   atau   x > 0

 

Irisan dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:

  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | 0 < x < 2, x ∊ R}.

 

b.  Bentuk 
Syarat untuk menentukan penyelesaian adalah:

 

Solusi (1)

(i).   f(x) ≥ 0
(ii).  g(x) ≥ 0

(iii). f(x) > (g(x))²   (kuadratkan kedua ruas)

 

Solusi dari pertidaksamaan adalah irisan dari (i), (ii), dan (iii).

 

Solusi (2)

 

(iv). f(x) ≥ 0

(v).  g(x) < 0

 

Solusi (2) adalah irisan dari (iv) dan (v).

 

Solusi dari pertidaksamaan adalah gabungan dari solusi (1) dan (2).

 

Contoh 7.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 
Alternatif Penyelesaian:

Syarat:

(i).   x + 15 ³ 0 ⇔  x ³ –15

(ii).  x + 3 ³ 0   ⇔  x ³ –3

(iii). Kuadratkan kedua ruas:

         x + 15 > (x + 3)²     ⇔  x + 15 > x² + 6x + 9
                                                ⇔  0 > x² + 6x + 9 – x – 15

                                                ⇔  x² + 5x – 6 < 0  
                                                ⇔  (x + 6)(x – 1) < 0
                                                ⇔  –6 < x < 1

Irisan dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:

 

Diperoleh Solusi (1) yaitu {–3 ≤ x < 1}

 

Solusi (2)

(iv). x + 15 ³ 0      ⇔    x ³ –15
(v).  x + 3 < 0        ⇔    x < –3

Irisan dari (iv) dan (v) adalah:

Diperoleh Solusi (2) yaitu {–15 ≤ x < 3}
Solusi pertidaksamaan adalah gabungan dari Solusi (1) dan (2) yaitu:

{–3 ≤ x < 1} È {–15 ≤ x < –3} = {–15 ≤ x < 1}.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | –15 ≤ x < 1, x ∊ R}.

 

Contoh 8.
Sebuah sepeda melaju di jalan raya selama t menit dengan panjang lintasan (dalam meter) ditentukan oleh persamaan berikut :

Jika panjang lintasan sepeda sekurang-kurangnya adalah 25 meter, tentukan nilai t yang memenuhi!
Jawab
Karena panjang lintasan sepeda diketahui sekurang-kurangnya adalah 25 meter, maka S(t) lebih besar atau sama dengan 25, sehingga berlaku:

S(t) ³ 25     ⇔   
                   ⇔      t² – 20t + 550 ³ (25)²
                   ⇔      t² – 20t + 550 ³ 625
                   ⇔      t² – 20t – 75 ³ 0            
                   ⇔      (t – 5)( t – 15) ³ 0
                   ⇔      t ≤ 5 atau t ³ 15
diperoleh t ≤ 5 atau t ³ 15.

 

Syarat tambahan: t² – 20t + 550 ³ 0

Pertidaksamaan t² – 20t + 550 ³ 0 selalu positif untuk setiap nilai t, karena definit positif (a = 1 > 0 dan Diskriminan D = (–20)² – 4(1)(550) = –1.800 < 0).

Dengan demikian, nilai t yang memenuhi agar panjang lintasan sepeda sekurang-kurangnya adalah 25 meter adalah t ≤ 5 menit atau t ≥ 15 menit.

 

C. Rangkuman

⦁     Pertidaksamaan irasional atau pertidaksamaan bentuk akar adalah suatu pertidaksamaan yang mengandung variabel pada bentuk akarnya.

⦁     Bentuk-bentuk pertidaksamaan irasional dan solusinya:

a.    Bentuk  dengan c > 0
Syarat untuk menentukan penyelesaian adalah:
(i).  f(x) ≥ 0
(ii). f(x) > a² (kuadratkan kedua ruas)
Solusi dari pertidaksamaan adalah irisan dari (i) dan (ii).

Bentuk dengan c < 0 cukup diselesaikan dengan f(x) ≥ 0.

 

b.    Bentuk  dengan c > 0
Syarat untuk menentukan penyelesaian adalah:
(i).  f(x) ≥ 0
(ii). f(x) < a² (kuadratkan kedua ruas)
Solusi dari pertidaksamaan adalah irisan dari (i) dan (ii).

 

c.     Bentuk 
Syarat untuk menentukan penyelesaian adalah:
(i).   f(x) ≥ 0
(ii).  g(x) ≥ 0
(iii). f(x) > g(x) (kuadratkan kedua ruas)
Solusi dari pertidaksamaan adalah irisan dari (i), (ii), dan (iii).

 

d.     Bentuk 
Syarat untuk menentukan penyelesaian adalah:
(i).   f(x) ≥ 0
(ii).  g(x) ≥ 0
(iii). f(x) < g(x) (kuadratkan kedua ruas)
Solusi dari pertidaksamaan adalah irisan dari (i), (ii), dan (iii).

 

e.     Bentuk 
Syarat untuk menentukan penyelesaian adalah:
(i).   f(x) ≥ 0
(ii). g(x) > 0
(iii). f(x) < (g(x))²   (kuadratkan kedua ruas)
Solusi dari pertidaksamaan adalah irisan dari (i), (ii), dan (iii).

 

f.      Bentuk 

Syarat untuk menentukan penyelesaian adalah:

 

Solusi (1)
(iv). f(x) ³ 0

(v). g(x) ³ 0

(vi). f(x) > (g(x))²            (kuadratkan kedua ruas)

Solusi (1) adalah irisan dari (i), (ii), dan (iii).

Solusi (2)
(vi).  f(x) ≥ 0
(vii). g(x) < 0
Solusi (2) adalah irisan dari (iv) dan (v).

Solusi dari pertidaksamaan adalah gabungan dari solusi (1) dan (2).

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 2: Pertidaksamaan Irasional Satu Variabel – 1. Please share...!