Fungsi Kuadrat

Sabtu, 04 November 2023

2. Fungsi Kuadrat

Sekarang kita bersama-sama akan mempelajari bentuk lain dari suatu fungsi yang dikenal sebagai fungsi kuadrat.

Fungsi f: R → R yang didefinisikan sebagai f: x → ax² + bx + c dengan a, b, dan c anggota bilangan riil dan a ≠ 0 disebut fungsi berderajat dua atau fungsi kuadrat.
Persamaan umum fungsi kuadrat f: x → ax² + bx + c adalah:
                                                y = ax² + bx + c
dan grafik fungsinya disebut kurva parabola.

Ingat kembali cara menentukan penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat yang berbentuk ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 seperti dengan menggunakan rumus:

Penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat disebut akar dari persamaan kuadrat.

Jika suatu fungsi kuadrat yang diketahui akar-akarnya misalkan x1 dan x2, maka fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)

Untuk menggambar suatu fungsi kuadrat, ikuti prosedur tiga langkah sederhana berikut.

1.     Tentukan titik potong kurva dengan sumbu x dan sumbu y

2.     Tentukan titik puncak

3.     Letakan titik-titik tersebut pada bidang koordinat Cartesius

4.     Dapat menggunakan beberapa titik uji.

5.     Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva.

Contoh 2.9
Dengan cara membuat tabel, gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x² – 4x + 3

Alternatif Penyelesaian:
Dengan menggunakan prosedur tiga langkah di atas, Kalian memperoleh table berikut ini.

1.    Titik potong kurva dengan sumbu x, diperoleh untuk nilai y = 0, maka y = 0 maka 0 = x² – 4x + 3 = (x – 3)(x – 1) atau x = 3 dan x = 1.
Maka titik potong sumbu x adalah (1, 0) dan (3, 0).

2.    Titik potong kurva dengan sumbu y, diperoleh untuk nilai x = 0, maka y = 02  4.0 + 3.
Maka titik potong sumbu y adalah (0, 3).

3.    Sumbu simetri fungsi kuadrat adalah . 

      Nilai optimum untuk 𝑥_𝑠𝑏 = 2 maka y = (2)² – 4.2 + 3 = 4 – 8 + 3 = –1.

 

      Berdasarkan dari data di atas, maka diperoleh grafik kurva sebagai berikut:

Perhatikan secara seksama gambar Contoh 2.7.
Apa yang dapat kita simpulkan?
Beberapa hal yang dapat disimpulkan tentang grafik fungsi kuadrat y = x² – 4x + 3 sebagai berikut.

a.     Memotong sumbu y di titik (0, 3).

b.     Memotong sumbu x di titik (1, 0) dan (3, 0).

c.      Simetri terhadap garis x = 2.

d.     Mempunyai titik puncak (2, –1).

e.      Mempunyai nilai ekstrem –1.

Dari kesimpulan di atas, maka bisa diperoleh hal sebagai berikut:

a.    Menggambar grafik fungsi kuadrat dengan cara menentukan titik potong dengan sumbu y, titik potong dengan sumbu x, dan titik puncak.
Penentuan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu y dilakukan melalui substitusi nilai x = 0 ke fungsi kuadrat. Lalu, Anda akan memperoleh berikut ini.
y = x² – 4x + 3
y = 0² – 4.0 + 3
y = 3

b.    Titik potong grafik fungsi kuadrat y = x² – 4x + 3 dengan sumbu y adalah titik (0, 3). Nilai 3 merupakan nilai c pada fungsi kuadrat bentuk umum y = ax² + bx + c. Jadi, titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu y adalah titik (0, c).

c.     Penentuan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x dilakukan melalui
substitusi nilai y = 0 ke fungsi kuadrat, maka akan memperoleh:
y = x² – 4x + 3
0 = x² – 4x + 3
(x – 1)(x – 3) = 0
x = 1 atau x = 3.
Jadi, titik potong grafik fungsi kuadrat y = x² – 4x + 3 dengan sumbu x adalah titik-titik (1, 0) dan (3, 0).

d.    Garis simetri grafik fungsi kuadrat y = x² – 4x + 3 adalah x = 2. Nilai ini dapat Anda peroleh dari:

Jadi garis  merupakan garis simetri dari fungsi kuadrat y = x² – 4x + 3.

e.     Titik puncak grafik fungsi kuadrat y = x² – 4x + 3 adalah titik (2, –1). Nilai –1 disebut sebagai nilai ekstrem. Nilai ini dapat Anda peroleh dengan menyubstitusikan nilai x = 2 ke persamaan berikut.

 

y = x² – 4x + 3
   = 2² – 4.2 + 3 = –1
Nilai ekstrem ini dapat pula Anda peroleh dari hal berikut ini.

D = b² – 4.a.c disebut sebagai diskriminan.
Jadi, titik puncak grafik fungsi y = ax² + bx + c adalah .

Hasil dari pembahasan di atas dapat Kalian gunakan untuk menggambar grafik fungsi kuadrat secara umum. Oleh karena itu, untuk menggambar grafik fungsi kuadrat, Kalian cukup menentukan hal-hal berikut.

1.     Titik potong dengan sumbu y, yaitu (0, c).

2.     Titik potong dengan sumbu x dengan mengambil nilai y = 0.

3.     Titik puncak 

Contoh 2.10
Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 2x² – 2x – 4

Alternatif Penyelesaian

1.    Titik potong dengan sumbu y adalah (0, c) = (0, -4).

2.    Titik potong dengan sumbu x dan mengambil nilai y = 0
2x² – 2x – 4 = 0
2(x² – x – 2) = 0         (kedua ruas dikali ½)
x² – x – 2 = 0
(x + 1)(x – 2) = 0
x = –1 atau x = 2

Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah (–1, 0) dan (2, 0).

 

3.    Titik puncak :

Gambar yang didapatkan:

Perhatikan dalam contoh 2.9 dan 2.10 di atas fungsi kuadrat y = ax² + bx + c untuk nilai a > 0, grafiknya buka ke atas atau menghadap ke atas.

Sekarang kita coba untuk fungsi kuadrat y = ax² + bx + c dengan nilai a < 0.

 

Kalian perhatikan contoh berikut.

Contoh 2.11
Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = –2x² + 2x + 4

Alternatif Penyelesaian

1.     Titik potong dengan sumbu y adalah (0, c) = (0, 4).

2.     Titik potong dengan sumbu x dan mengambil nilai y = 0
–2x² + 2x + 4 = 0
–2(x² – x – 2) = 0      (kedua ruas dikali – ½)
x² – x – 2 = 0
(x + 1)(x – 2) = 0
x = –1 atau x = 2

Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah (–1, 0) dan (2, 0).

 

3.     Titik puncak:

 

Gambar yang didapatkan:

 

Jadi, grafik fungsi kuadrat y = –2x² + 2x + 4 menghadap ke bawah.

Secara umum, dapat Kalian simpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c menghadap ke atas jika a > 0. Sebaliknya, menghadap ke bawah jika a < 0.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Fungsi Kuadrat. Please share...!