Fungsi Pecahan (Fungsi Rasional)

Minggu, 05 November 2023

3.  Fungsi Pecahan (Fungsi Rasional)

 

Fungsi pecah dapat didefinisikan sebagai berikut.
Fungsi pecah adalah fungsi yang dirumuskan oleh , dengan P(x) dan Q(x) merupakan suku banyak dalam x dan Q(x) ≠ 0 pada domainnya.

 

Contoh fungsi pecah dan grafiknya.

Nilai Nol Fungsi

Jika diketahui fungsi , maka nilai -nilai x yang menyebabkan f(x) = 0 disebut nilai nol dari fungsi f(x). Nilai nol disebut juga pembuat nol atau harga nol. Dapat dibuktikan bahwa jika f(x) = 0, maka juga P(x) = 0. Jadi, untuk mencari nilai nol fungsi , cukup dicari nilai (nilai-nilai) yang menyebabkan P(x) = 0.

Namun perlu diingat bahwa nilai x yang menyebabkan P(x) = 0 belum tentu merupakan nilai nol fungsi f(x). Ini terjadi jika nilai x tersebut ternyata juga membuat Q(x) = 0. Untuk x yang bersama-sama membuat P(x)  dan Q(x) bernilai nol menyebabkan f(x) mempunyai nilai tak tentu. Misalnya, pada fungsi , nilai x = 1 bukan nilai nol dari fungsi f(x) sekalipun untuk P(x) = x² – 3x + 2 berlaku P(1)= 0. Ini karena juga berlaku Q(1) = 0, sehingga f(1) bernilai tak tentu.

Perlu diperhatikan bahwa tidak setiap fungsi pecahan mempunyai nilai nol. Ini terjadi kalau P(x) tidak mungkin berharga nol. Pada pembelajaran sebelumnya kita telah ketahui bahwa nilai nol suatu fungsi berkaitan dengan koordinat titik potong grafik dengan sumbu X. Jadi, jika x = a adalah nilai nol dari fungsi f(x), maka (a, 0) adalah koordinat titik potong grafik dengan sumbu X.

 

Contoh 2.12
Tentukan nilai nol dari 

Alternatif Penyelesaian:
2x – 6 = 0
      2x = 6
        x = 3
Jadi, nilai nol dari fungsi tersebut adalah x = 3.

 

Contoh 2.13
Tentukan nilai nol dari fungsi 

Alternatif Penyelesaian:
Nilai nol dicari dengan cara berikut.
    x² – 5x + 6 = 0
(x – 2)(x – 3) = 0
   x = 2 atau x = 3

Untuk x = 2 dan x = 3 nilai Q(x) tidak nol.
Jadi, nilai nol dari  adalah x = 2 dan x = 3. Dan grafik f(x) memotong sumbu x di titik (2, 0) dan (3, 0).

Jika fungsi , dan P(x) dalam bentuk ax² + bx + c = 0, ini berarti ada tidaknya nilai nol fungsi tergantung pada diskriminan persamaan kuadrat.

 

Contoh 2.14
Tentukan nilai nol dari 

Alternatif Penyelesaian:
Diskriminan dari x² – x + 3 = 0 adalah D = (–1)² – 4.1.3 = 1 – 12 = –11< 0. Karena D < 0, maka fungsi f(x) = x² – x + 3 tidak mempunyai nol. Ini berarti grafik fungsi  tidak memotong sumbu x.

Grafik Fungsi Pecahan
Langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi pecahan adalah sebagai berikut:

a.    Menentukan titik-titik potong dengan sumbu x dan sumbu y

b.    Menentukan asimptot datar, tegak dan miring

c.    Membuat tabel yang menunjukkan dimana fungsi bernilai positif (grafik terletak di atas sumbu x) dan bernilai negatif (grafik terletak di bawah sumbu x)

d.    Menentukan nilai ekstrim fungsi (hanya untuk fungsi pecah terentu)

e.     Menentukan titik-titik bantu (kalau perlu)

f.      Mensketsa kurvanya

Jenis-jenis asimptot fungsi pecah:

a.    Asimptot tegak, diperoleh bila penyebut bernilai nol

b.    Asimptot datar, diperoleh bila x → ~

c.     Asimptot miring, hanya untuk jenis fumgsi rasional yang pembilangnya mempunyai derajat lebih tinggi satu daripada penyebutnya

Contoh 2.15
Gambar sketsa grafik 

Alternatif Penyelesaian:
Langkah-langkah menggambar :

1.      Titik potong sumbu x dan sumbu y tidak ada

2.      Asimptot-asimptot : tegak : garis x = 0
datar : untuk x → ~ diperoleh y = f(x) = 0
Jadi garis y = 0 sebagai asimptot datar

3.      Titik-titik bantu :

4.      Sketsa grafik

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Fungsi Pecahan (Fungsi Rasional). Please share...!