A. Tujuan Pembelajaran
Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan kalian dapat menjelaskan metode pembuktian dengan induksi matematika, menjelaskan prinsip induksi matematika, dan menggunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan matematis.
B.
Uraian Materi
Induksi
matematika adalah salah satu metode pembuktian dalam matematika. Secara umum,
Induksi matematika merupakan metode untuk membuktikan bahwa suatu sifat yang
didefinisikan pada bilangan asli π adalah bernilai benar untuk semua
nilai π yang lebih besar atau sama dengan sebuah bilangan
asli tertentu. Melalui induksi Matematika, kita dapat mengurangi langkah
pembuktian yang sangat rumit untuk menemukan suatu kebenaran dari pernyataan
matematis hanya dengan sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah.
Perlu
ditekankan bahwa dengan induksi matematika kita dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, tetapi bukan untuk menemukan suatu formula atau rumus.
Prinsip Induksi
Matematika
Misalkan (π) adalah sifat yang didefinisikan untuk suatu bilangan
asli π, dan misalkan pula π
merupakan suatu bilangan asli tertentu. Andaikan dua pernyataan berikut
bernilai benar:
1. (π) bernilai benar.
2. Untuk
sebarang bilangan asli π ≥ π,
jika (π) bernilai
benar, maka π(π + 1) juga bernilai benar.
Maka
pernyataan untuk sebarang bilangan asli π ≥ π,
(π)
bernilai benar.
Untuk
memberikan gambaran ide tentang induksi matematika, bayangkan sebarisan
kartu-kartu domino seperti pada gambar.
Gambar 1. Efek Domino
Kita gunakan
dua asumsi:
1.
Kartu
domino pertama dijatuhkan.
2.
Jika
suatu kartu domino dijatuhkan, maka kartu domino berikutnya juga akan
jatuh.
Jika dua
asumsi tersebut benar, maka seluruh kartu domino juga akan jatuh.
Untuk
melihat hubungan hal tersebut dengan prinsip induksi matematika, kita misalkan (π) adalah kalimat “domino ke-π akan jatuh”. Ini dapat dinyatakan bahwa jika (1)
benar (domino pertama jatuh), maka untuk sebarang π ≥ 1, jika π(π) bernilai benar (domino ke-π jatuh), maka π(π + 1) juga bernilai benar (domino
ke-(π + 1) juga jatuh). Menurut prinsip induksi matematika,
maka (π), yaitu domino ke-π jatuh, juga bernilai benar untuk
sebarang bilangan asli π ≥ 1.
Gambar 2. Prinsip induksi matematika
pada efek domino
Pembuktian dengan induksi matematika terdiri dari dua
langkah. Langkah pertama disebut sebagai langkah dasar (basis step), dan langkah kedua disebut
sebagai langkah induktif (inductive step).
Metode pembuktian dengan induksi matematika
Pandang suatu pernyataan “Untuk sebarang bilangan asli π ≥ π, dengan π adalah bilangan asli tertentu, sifat π(π) bernilai benar.”
Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kita akan menjalankan dua
langkah berikut:
· Langkah
dasar (basis step)
Akan
ditunjukkan bahwa π(π) bernilai benar.
· Langkah
induktif (inductive step)
Akan
ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli π
≥ π,dengan π adalah bilangan asli tertentu, jika π(π) bernilai benar maka π(π + 1) juga bernilai benar.
Pada proses pembuktian dengan Prinsip Induksi Matematika,
untuk langkah awal tidak selalu dipilih untuk n = 1, n = 2, atau n = 3,
tetapi dapat dipilih sebarang nilai n sedemikian sehingga dapat
mempermudah supaya proses langkah awal dipenuhi. Selanjutnya, yang ditemukan pada langkah awal merupakan modal untuk langkah induksi. Artinya, jika P(1) benar, maka P(2) benar; jika P(2)
benar maka P(3) benar;\ demikian seterusnya hingga disimpulkan P(k) benar. Dengan
menggunakan P(2)
benar, maka akan ditunjukkan P(k + 1) benar.
Jika P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika,
maka pernyataan matematis P(n) terbukti benar. Jika salah satu dari
kedua prinsip tidak dipenuhi, maka pernyataan matematis P(n)
salah. Perhatikan bahwa pada langkah induktif, kita tidak membuktikan bahwa (π) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika (π) benar, maka π(π + 1) juga benar. Pemisalan bahwa π(π) benar tersebut dinamakan hipotesis induktif.
Sumber
Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 1: Metode Pembuktian Dengan Induksi Matematika. Please share...!
