Aturan Kosinus

Senin, 12 September 2022

Dalam pembahasan sebelumnya, telah diuraikan aturan perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut pada segitiga siku-siku. Selanjutnya akan dibahas pula aturan perbandingan trigonometri untuk sudut pada segitiga bukan siku-siku. Aturan ini terdiri dari aturan sinus dan aturan kosinus.

 

(2)        Aturan Kosinus

     

Pada segitiga ABC diketahui :

sisi AB = c

sisi AC = b

sisi BC = a

 

Terdapat garis tinggi CD = h tegak lurus AB sehingga menurut teorema Pythagoras berlaku:

BC² = BD² + DC²

a² = BD² + h²                                                                       … (1)

 

Menurut aturan perbandingan sinus, berlaku :

     h = b. sin A        … (2)

Menurut aturan perbandingan kosinus, berlaku :

         AD = b. cos A

Karena BD = AB – AD

maka BD = c – b.cos A                                                                  … (3)

Dari (1), (2) dan (3) diperoleh :

a² = BD² + h²

a² = (c – b.cos A)² + (b. sin A)²

a² = c² – 2.c.b.cos A + b².cos 2A + b². Sin 2A

a² = c² – 2.c.b.cos A + b².[cos 2A + sin 2A]

a² = c² – 2.c.b.cos A + b².[1]

a² = b² + c² – 2.b.c.cos A

Dengan cara yang sama, jika ditarik garis tinggi h dari titik A dan titik B, maka akan didapat bentuk aturan kosinus yang lain, yakni:

b² = a² + c² – 2.a.c.cos B

c² = a² + b² – 2.a.b.cos C

Sehingga disimpulkan : Pada segitiga ABC berlaku:

a² = b² + c² – 2.b.c.cos A

b² = a² + c² – 2.a.c.cos B

c² = a² + b² – 2.a.b.cos C

 

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

 

1.     Sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi AC = 6 cm dan sisi BC = 4 cm serta ÐC = 120° Maka tentukanlah panjang sisi AB

 

Alternatif Pembahasan

 

Diketahui AC = b = 6 cm

BC = a = 4 cm

ÐC = 120°

Ditanya : AB = c = … ?

Maka :

c² = a² + b² – 2.a.b.cos C

c² = 4² + 6² – 2(4)(6).cos 1200

c² = 16 + 36 – 48.(– ½)

c² = 16 + 36 + 24

c² = 76

 

Jadi AB = c = Ö76 = 219 cm

 

2.     Sebuah kapal berlayar dengan arah 110° dari suatu pelabuhan dengan kecepatan 12 km/jam. Pada saat yang sama terdapat kapal lain yang berlayar dengan arah 50° dari pelabuhan tersebut dengan kecepatan 8 km/jam. Berapa jarak kedua kapal itu setelah berlayar selama 5 jam?

 

Alternatif Pembahasan

 

   

Jarak kedua kapal = AB

  

s = v . t

maka s_A = v_A . t_A = 12 . 5 = 60 km          Jadi PA = 60

     s_B = v_B . t_B = 8 . 5 = 40 km Jadi PB = 40

 

sehingga :

p² = a² + b² – 2.a.b.cos P

p² = 40² + 60² – 2.40.60.cos 60°

p² = 1600 + 3600 – 2.40.60.(½)

p² = 5200 – 2400

p² = 2800

maka : p = Ö2800

       p = 20Ö7

Jadi jarak kedua kapal = 20Ö7 km

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Aturan Kosinus. Please share...!