Metode Pembuktian Dengan Induksi Matematika

Rabu, 24 Januari 2024

Contoh 1.

Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n bilangan ganjil positif yang pertama sama dengan n².

Alternatif Penyelesaian:

Kita ketahui pola bilangan ganjil positif adalah (2n – 1) untuk n bilangan asli.

Akan kita tunjukkan bahwa: 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n²
Misalkan P(n) adalah persamaan:

P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n².

Untuk membuktikan kebenaran pernyataan P(n), kita harus menyelidiki apakah P(n) memenuhi prinsip induksi matematika, yaitu langkah dasar dan langkah induksi.

·        Langkah dasar
Akan ditunjukkan bahwa 𝑃(1) bernilai benar.
Untuk n = 1, maka P(1) = 1 = 1² = 1.
Jadi P(1) bernilai benar. (Langkah dasar selesai)

·        Langkah induktif
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli 𝑛 = 𝑘 ≥ 1, jika 𝑃(𝑘) bernilai benar maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar.
Misalkan bahwa 𝑃(𝑘) diasumsikan bernilai benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 = 𝑘 ≥ 1, yaitu:

𝑃(𝑘) = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 - 1) = 𝑘²

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar, yaitu:

𝑃(𝑘 + 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 - 1) + (2(𝑘 + 1) - 1) = (𝑘 + 1)²

Karena 𝑃(𝑘) = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 - 1) = 𝑘² adalah pernyataan yang benar, maka dari ruas kiri 𝑃(𝑘 + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).

 

Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah selesai, maka menurut prinsip induksi matematis terbukti bahwa: 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 - 1) = 𝑛² untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 1. Jadi disimpulkan bahwa jumlah n bilangan ganjil positif yang pertama sama dengan n2, dengan n bilangan asli.

 

Contoh 2.

Buktikan bahwa jumlah n bilangan asli yang pertama sama dengan …

Alternatif Penyelesaian:

Akan dibuktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 1, maka:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah persamaan:

·       Langkah dasar
Akan ditunjukkan bahwa 𝑃(1) bernilai benar.
Untuk n = 1, maka ruas kiri P(1) = 1 dan ruas kanan 

Jadi P(1) bernilai benar. (Langkah dasar selesai).

 

·       Langkah induktif
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli 𝑛 = 𝑘 ≥ 1, jika 𝑃(𝑘) bernilai benar maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar.
Misalkan bahwa 𝑃(𝑘) diasumsikan bernilai benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 = 𝑘 ≥ 1, yaitu:

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar, yaitu:

atau ekuivalen dengan:

Karena  maka dari ruas kiri 𝑃(𝑘 + 1) diperoleh:

 

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif
selesai).

 

Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi
matematis terbukti bahwa   untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 1.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Metode Pembuktian Dengan Induksi Matematika. Please share...!