Metode Pembuktian Dengan Induksi Matematika - 1

Kamis, 25 Januari 2024

Contoh 3.

Buktikan dengan induksi matematika bahwa:

untuk setiap n bilangan asli ...

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 

·     Langkah dasar
Akan ditunjukkan bahwa 𝑃(1) bernilai benar.
Ambil n = 1, diperoleh:

Jadi P(1) bernilai benar. (Langkah dasar selesai).

·     Langkah Induktif
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli 𝑛 = 𝑘 ≥ 1, jika 𝑃(𝑘) bernilai benar maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar.

Misalkan bahwa 𝑃(𝑘) diasumsikan bernilai benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 = 𝑘 ≥ 1, yaitu:

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar, yaitu:

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Jadi, disimpulkan bahwa  untuk setiap n bilangan asli.

Contoh 4.

Tunjukkan dengan induksi matematis bahwa

1 + 2 + 2² + ⋯ + 2^𝑛 = 2^{𝑛 + 1} – 1

untuk sebarang bilangan bulat nonnegatif n.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa

1 + 2 + 2² + ⋯ + 2^𝑛 = 2^{𝑛 + 1} – 1

untuk sebarang bilangan bulat nonnegatif 𝑛.

·    Langkah dasar
𝑃(0) benar karena di ruas kiri 𝑃(0) = 20 = 1 dan di ruas kanan 20 + 1 – 1 = 1.
Langkah dasar selesai.

·     Langkah induktif
Untuk hipotesis induktif, kita asumsikan bahwa 𝑃(𝑘) benar untuk sebarang
bilangan bulat nonnegatif 𝑘, yaitu:

1 + 2 + 2² + ⋯ + 2^k = 2^{k + 1} – 1

Menggunakan asumsi tersebut, selanjutnya 𝑃(𝑘 + 1) juga harus ditunjukkan benar.
Kita menunjukkan bahwa 𝑃(𝑘 + 1):

1 + 2 + 2² + ⋯ + 2^𝑘 + 2^{𝑘 + 1} = 2^{(𝑘 + 1) + 1} – 1
                                                = 2^{𝑘 + 2} – 1

Dengan asumsi 𝑃(𝑘) benar, maka
1 + 2 + 2² + ⋯ + 2^𝑘 + 2𝑘 + 1 = (1 + 2 + 2² + ⋯ + 2^𝑘) + 2^{𝑘 + 1}
                                                = (2^{𝑘 + 1} – 1) + 2^{𝑘 + 1}
                                                = 2 ∙ 2^{𝑘 + 1} – 1
                                                = 2^{𝑘 + 2} – 1

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika 𝑃(𝑛) benar untuk sebarang bilangan bulat nonnegatif 𝑛. Dengan demikian terbukti bahwa 1 + 2 + 2² + ⋯ + 2^𝑛 = 2^{𝑛 + 1} – 1 untuk sebarang bilangan bulat nonnegatif 𝑛.

Contoh 5.

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan asli n ³ 1, berlaku:

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 

 

·     Langkah dasar
Ambil n = 1 sehingga diperoleh:

Berarti untuk n = 1, P(1) bernilai benar. Langkah dasar selesai.

·     Langkah induktif
Misalkan n = k, berarti:

Asumsikan P(k) benar untuk sebarang bilangan asli.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 maka 𝑃(𝑘 + 1) juga bernilai benar, yaitu:

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika 𝑃(𝑛) benar untuk sebarang bilangan asli n ³ 1.

Jadi, disimpulkan bahwa  berlaku untuk sebarang bilangan asli n ³ 1.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Metode Pembuktian Dengan Induksi Matematika - 1. Please share...!