Contoh 3.
Buktikan
dengan induksi matematika bahwa:
untuk setiap n bilangan asli ...
Alternatif
Penyelesaian:
ยท Langkah
dasar
Akan ditunjukkan bahwa ๐(1) bernilai benar.
Ambil n = 1, diperoleh:
Jadi P(1) bernilai
benar. (Langkah dasar selesai).
ยท Langkah
Induktif
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli ๐ = ๐ โฅ 1, jika ๐(๐) bernilai benar maka ๐(๐ + 1) juga bernilai benar.
Misalkan bahwa ๐(๐) diasumsikan bernilai benar untuk
sebarang bilangan asli ๐ = ๐
โฅ 1, yaitu:
Selanjutnya akan
ditunjukkan bahwa untuk ๐ = ๐
+ 1 maka ๐(๐ + 1) juga bernilai benar, yaitu:
Dari ruas kiri P(k
+ 1) diperoleh:
Kedua ruas dari ๐(๐ + 1) sama, maka ๐(๐ + 1) bernilai benar. (Langkah
induktif selesai).
Jadi, disimpulkan bahwa untuk setiap n bilangan asli.
Contoh 4.
Tunjukkan
dengan induksi matematis bahwa
1 + 2 + 22 + โฏ + 2๐ = 2๐ + 1 โ 1
untuk
sebarang bilangan bulat nonnegatif n.
Alternatif
Penyelesaian:
Misalkan ๐(๐) adalah pernyataan bahwa
1 + 2 + 22 + โฏ + 2๐ = 2๐ + 1 โ 1
untuk sebarang bilangan bulat
nonnegatif ๐.
ยท Langkah
dasar
๐(0) benar karena di ruas kiri ๐(0) = 20 = 1 dan di ruas kanan 20 + 1 โ 1 = 1.
Langkah dasar selesai.
ยท Langkah
induktif
Untuk hipotesis induktif, kita asumsikan bahwa ๐(๐) benar untuk sebarang
bilangan bulat nonnegatif ๐, yaitu:
1 + 2 + 22 + โฏ + 2k = 2k + 1 โ 1
Menggunakan asumsi
tersebut, selanjutnya ๐(๐ + 1) juga harus ditunjukkan benar.
Kita menunjukkan bahwa ๐(๐ + 1):
1 + 2 + 22 + โฏ + 2๐ + 2๐
+ 1 = 2(๐
+ 1) + 1 โ 1
= 2๐
+ 2 โ 1
Dengan asumsi ๐(๐) benar, maka
1 + 2 + 22 + โฏ + 2๐ + 2๐ + 1 = (1 + 2 + 22 + โฏ + 2๐) + 2๐ + 1
=
(2๐ + 1 โ 1) + 2๐ + 1
=
2 โ 2๐ + 1 โ 1
=
2๐ + 2 โ 1
Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika ๐(๐) benar untuk sebarang bilangan bulat nonnegatif ๐. Dengan demikian terbukti bahwa 1 + 2 + 22 + โฏ + 2๐ = 2๐ + 1 โ 1 untuk sebarang bilangan bulat nonnegatif ๐.
Contoh 5.
Buktikan dengan induksi matematika
bahwa untuk setiap bilangan asli n ยณ 1, berlaku:
Alternatif
Penyelesaian:
ยท Langkah
dasar
Ambil n = 1 sehingga diperoleh:
Berarti untuk n =
1, P(1) bernilai benar. Langkah dasar selesai.
ยท Langkah
induktif
Misalkan n = k, berarti:
Asumsikan P(k)
benar untuk sebarang bilangan asli.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk ๐ = ๐
+ 1 maka ๐(๐ + 1) juga bernilai benar, yaitu:
Dari ruas kiri P(k
+ 1) diperoleh:
Kedua ruas dari ๐(๐ + 1) sama, maka ๐(๐ + 1) bernilai benar. (Langkah
induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip
induksi matematika ๐(๐) benar untuk sebarang bilangan asli n ยณ 1.
Jadi, disimpulkan bahwa berlaku untuk sebarang bilangan asli n ยณ 1.
Sumber
Thanks for reading Metode Pembuktian Dengan Induksi Matematika - 1. Please share...!