Situs gratis pertama yang direkomendasikan untuk membuat blog adalah Situs gratis pertama yang direkomendasikan untuk membuat blog adalah Blogger.

Metode Pembuktian Dengan Induksi Matematika - 1

Contoh 3.

Buktikan dengan induksi matematika bahwa:

untuk setiap n bilangan asli ...

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 

ยท     Langkah dasar
Akan ditunjukkan bahwa
๐‘ƒ(1) bernilai benar.
Ambil n = 1, diperoleh:

Jadi P(1) bernilai benar. (Langkah dasar selesai).

ยท     Langkah Induktif
Akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan asli
๐‘› = ๐‘˜ โ‰ฅ 1, jika ๐‘ƒ(๐‘˜) bernilai benar maka ๐‘ƒ(๐‘˜ + 1) juga bernilai benar.

Misalkan bahwa ๐‘ƒ(๐‘˜) diasumsikan bernilai benar untuk sebarang bilangan asli ๐‘› = ๐‘˜ โ‰ฅ 1, yaitu:

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk ๐‘› = ๐‘˜ + 1 maka ๐‘ƒ(๐‘˜ + 1) juga bernilai benar, yaitu:

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari ๐‘ƒ(๐‘˜ + 1) sama, maka ๐‘ƒ(๐‘˜ + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Jadi, disimpulkan bahwa 
 untuk setiap n bilangan asli.


Contoh 4.

Tunjukkan dengan induksi matematis bahwa

1 + 2 + 22 + โ‹ฏ + 2๐‘› = 2๐‘› + 1 โ€“ 1

untuk sebarang bilangan bulat nonnegatif n.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan ๐‘ƒ(๐‘›) adalah pernyataan bahwa

1 + 2 + 22 + โ‹ฏ + 2๐‘› = 2๐‘› + 1 โ€“ 1

untuk sebarang bilangan bulat nonnegatif ๐‘›.

ยท    Langkah dasar
๐‘ƒ(0) benar karena di ruas kiri ๐‘ƒ(0) = 20 = 1 dan di ruas kanan 20 + 1 
โ€“ 1 = 1.
Langkah dasar selesai.

ยท     Langkah induktif
Untuk hipotesis induktif, kita asumsikan bahwa
๐‘ƒ(๐‘˜) benar untuk sebarang
bilangan bulat nonnegatif
๐‘˜, yaitu:

1 + 2 + 22 + โ‹ฏ + 2k = 2k + 1 โ€“ 1

Menggunakan asumsi tersebut, selanjutnya ๐‘ƒ(๐‘˜ + 1) juga harus ditunjukkan benar.
Kita menunjukkan bahwa
๐‘ƒ(๐‘˜ + 1):

1 + 2 + 22 + โ‹ฏ + 2๐‘˜ + 2๐‘˜ + 1 = 2(๐‘˜ + 1) + 1 โ€“ 1
                                                = 2
๐‘˜ + 2 โ€“ 1

Dengan asumsi ๐‘ƒ(๐‘˜) benar, maka
1 + 2 + 22 +
โ‹ฏ + 2๐‘˜ + 2๐‘˜ + 1 = (1 + 2 + 22 + โ‹ฏ + 2๐‘˜) + 2๐‘˜ + 1
                                                = (2
๐‘˜ + 1 โ€“ 1) + 2๐‘˜ + 1
                                                = 2 โˆ™ 2
๐‘˜ + 1 โ€“ 1
                                                = 2
๐‘˜ + 2 โ€“ 1

Kedua ruas dari ๐‘ƒ(๐‘˜ + 1) sama, maka ๐‘ƒ(๐‘˜ + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika
๐‘ƒ(๐‘›) benar untuk sebarang bilangan bulat nonnegatif ๐‘›. Dengan demikian terbukti bahwa 1 + 2 + 22 + โ‹ฏ + 2๐‘› = 2๐‘› + 1 โ€“ 1 untuk sebarang bilangan bulat nonnegatif ๐‘›
.

Contoh 5.

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan asli ยณ 1, berlaku:

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 

 

ยท     Langkah dasar
Ambil n = 1 sehingga diperoleh:

Berarti untuk n = 1, P(1) bernilai benar. Langkah dasar selesai.

ยท     Langkah induktif
Misalkan n = k, berarti:

Asumsikan P(k) benar untuk sebarang bilangan asli.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk
๐‘› = ๐‘˜ + 1 maka ๐‘ƒ(๐‘˜ + 1) juga bernilai benar, yaitu:

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari ๐‘ƒ(๐‘˜ + 1) sama, maka ๐‘ƒ(๐‘˜ + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika
๐‘ƒ(๐‘›) benar untuk sebarang bilangan asli
ยณ 1.


Jadi, disimpulkan bahwa 
 berlaku untuk sebarang bilangan asli ยณ 1.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Metode Pembuktian Dengan Induksi Matematika - 1. Please share...!

Back To Top