Metode (Cara) Kofaktor

Jumat, 01 Maret 2024

 3.  Metode (Cara) Kofaktor

Setelah kita membahas tentang mencari determinan menggunakan Metode Sarrus, berikutnya kita akan membahas tentang mencari determinan dengan menggunakan Metode Kofaktor suatu matriks yang berordo 3 x 3.

Baiklah kita langsung saja ke pokok bahasannya. Yang pertama kita bahas tentang kofaktor suatu matriks. Kofaktor suatu matriks dirumuskan sebagai -1 pangkat baris ditambah kolom elemen minor dari matriks bersangkutan. Secara matematis dirumuskan sebagai :

𝐾_𝑖𝑗 = (–1) 𝑀^{𝑖 + 𝑗}. 𝑀_𝑖𝑗

Keterangan :
𝐾_𝑖𝑗 maksudnya kofaktor dari suatu matriks baris ke – i dan kolom ke – j.
i menyatakan baris
j menyatakan kolom.
𝑀_𝑖𝑗 merupakan minor baris ke – i kolom ke – j dari suatu matriks.

 

Contoh :

Tentukanlah kofaktor dari matriks 

Alternatif Penyelesaian:

Terlebih dulu kita cari minor dari matriks A tersebut. Disini minor dari matriks A di dapat :

Kemudian kita cari kofaktor tiap elemen dari minor tersebut :
Kofaktor Matriks A baris pertama kolom pertama, berarti i = 1 dan j = 1.
𝐾_𝑖𝑗 = (–1) 𝑀^𝑖+𝑗. 𝑀_𝑖𝑗

𝐾₁₁ = (–1) 𝑀¹⁺¹. 𝑀₁₁
𝐾₁₁ = (–1)². 5
𝐾₁₁ = (1) 5 = 5

Kofaktor matriks A baris pertama kolom kedua, berarti i = 1 dan j = 2.
𝐾₁₂ = (–1) 𝑀¹⁺². 𝑀₁₂
𝐾₁₂ = (–1)³. 𝑀₁₂
𝐾₁₂ = (–1). 3 = 3

Kofaktor matriks A baris kedua kolom pertama, berarti i = 2 dan j = 1
𝐾₂₁ = (–1)²⁺¹. 𝑀₂₁
𝐾₂₁ = (–1)³. 4 = (–1).4 = –4

Kofaktor matriks A baris kedua kolom kedua, berarti i = 2 dan j = 2
𝐾₂₂ = (–1)²⁺². 𝑀₂₂
𝐾₂₂ = (–1)⁴.2 = 1. 2 = 2

Jadi, kofaktor dari matriks A adalah .

Sekarang bagaimana dengan Adjoinnya? Kita langsung mencari adjoin matriks A di atas. Tetapi terlebih dulu kita bahas secara singkat apa sih yang dimaksud dengan adjoin?

Adjoin merupakan transfose dari kofaktor matriks A. secara matematis dirumuskan
sebagai :

Dimana :
= Transpose kofaktor dari matriks A
Adj A = adjoin matriks A

Jika kita mau mencari adjoin sebuah matriks, maka terlebih dulu kita cari minornya dulu, setelah itu dari minor ini kita akan mendapatkan matriks kofaktor. Kemudian kofaktor ini kita transfuskan itulah adjoin sebuah matriks, dalam kalimat tadi ada kata transfose, apa yang dimaksud dengan matriks transfose?
Matriks transfose adalah matriks yang urutan baris diubah menjadi kolom dan kolom menjadi baris.
Dari soal di atas, maka kita bisa menentukan adjoinnya adalah sebagai berikut :

Sekarang bagaimana kalau matriksnya berordo 3 x 3?
Kita perhatikan contoh di bawah ini !

Contoh :

Tentukanlah Kofaktor dan Adjoin dari matriks berikut :

Alternatif Penyelesaian:

Terlebih dahulu kita cari minor matriks A, disini didapat bahwa minor matriks A
adalah :
𝑀₁₁ = artinya determinan matriks ordo 2 x 2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3

𝑀₁₂ = artinya determinan matriks ordo 2 x 2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3.

𝑀₁₃= artinya determinan matriks ordo 2 x 2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3

𝑀₂₁ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3

𝑀₂₂ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3

𝑀₂₃ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 2 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3

𝑀₃₁ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 1 pada matrik ordo 3x3

𝑀₃₂ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 2 pada matrik ordo 3x3

𝑀₃₃ = artinya determinan matriks ordo 2x2 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke 3 kolom ke 3 pada matrik ordo 3x3

Jadi Minor Matriks .

Sehingga kofaktor matriks A adalah:
Kofaktor Matriks A baris pertama kolom pertama, berarti i = 1 dan j = 1.
𝐾_𝑖𝑗 = (-1) 𝑀^𝑖+𝑗. 𝑀_𝑖𝑗
𝐾₁₁ = (-1) 𝑀₁₊₁. 𝑀₁₁
𝐾₁₁ = (-1)2. 4 = (1) 4 = 4

Kofaktor matriks A baris pertama kolom kedua, berarti i = 1 dan j = 2.

𝐾₁₂ = (-1) 𝑀¹⁺². 𝑀₁₂
𝐾₁₂ = (-1)³. 𝑀₁₂ = (-1). 0 = 0

Kofaktor matriks A baris pertama kolom ketiga, berarti i = 1 dan j = 3.
𝐾₁₃ = (-1) 𝑀¹⁺³. 𝑀₁₃
𝐾₁₃ = (-1)⁴. 𝑀₁₃ = (1). 1 = 1

Kofaktor matriks A baris kedua kolom pertama, berarti i = 2 dan j = 1
𝐾₂₁ = (-1)²⁺¹. 𝑀₂₁
𝐾₂₁ = (-1)³. 4 = (- 1).2 = - 2

Kofaktor matriks A baris kedua kolom kedua, berarti i = 2 dan j = 2
𝐾₂₂ = (-1)²⁺². 𝑀₂₂
𝐾₂₂ = (-1)⁴.2 = 1. 4 = 4

Kofaktor matriks A baris kedua kolom ketiga, berarti i = 2 dan j = 3
𝐾₂₃ = (-1)²⁺³. 𝑀₂₃
𝐾₂₃ = (-1)⁵.2 = -1. 2 = - 2

Kofaktor matriks A baris ketiga kolom pertama, berarti i = 3 dan j = 1
𝐾₃₁ = (-1)³⁺¹. 𝑀₃₁
𝐾₃₁ = (-1)⁴.2 = 1. 10 = 10

Kofaktor matriks A baris ketiga kolom kedua, berarti i = 3 dan j = 2
𝐾₃₂ = (-1)³⁺². 𝑀₃₂
𝐾₃₂ = (-1)⁵(-2) = -1(-2) = 2

Kofaktor matriks A baris ketiga kolom ketiga, berarti i = 3 dan j = 3
𝐾₃₃ = (-1)³⁺³. 𝑀₃₃
𝐾₃₃ = (-1)⁶(2) = 1(2) = 2

Jadi Kofaktor Matriks .

Adjoin matriks A dicari dengan mencari transpose dari kofaktor matriks A, sehingga :

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Metode (Cara) Kofaktor. Please share...!