Sifat turunan fungsi

Sabtu, 18 Mei 2024

 

Sifat turunan fungsi

Misalkan fungi f : S → R, S ⊆ R dengan x ∈ S dan L ∈ R. Fungsi f dapat diturunkan di titik x jika dan hanya jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, diturus, .

Keterangan:

1.      adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kanan pada domain S.

2.      adalah turunan fungsi f di titik x yang didekati dari kiri pada domain S.

 

Contoh Soal:
Dengan menggunakan konsep turunan, tentukan turunan pertama dari :

1.     𝑓(𝑥) = 10
Alternatif Penyelesaian:
Karena 𝑓(𝑥) = 10 merupakan fungsi konstan (tetap) maka 𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) = 10 (𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝).

 

2.     𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5
Alternatif Penyelesaian:

 

3.     𝑓(𝑥) = 5𝑥² + 3
Alternatif Penyelesaian:

Sekarang marilah kita perhatikan ketiga contoh tersebut lalu kita tarik kesimpulan. Untuk contoh pertama, fungsi yang diberikan adalah fungsi konstan, menghasilkan turunan pertama sama dengan nol. Contoh soal kedua adalah fungsi linear menghasilkan turunan pertama koefisiennya, dan contoh soal ketiga adalah fungsi kuadrat, nahh perhatikan bahwa koefisien dari 𝑥 pangkat dua adalah 5 dan pangkat dari 𝑥 adalah 2, kalikan 5 dengan 2 didapat 5(2) = 10, hasil akhir berpangkat satu maka 2 – 1 = 1. Dari sini kita tarik kesimpulan bahwa:

Ø   Untuk fungsi konstan mempunyai bentuk umum (𝒙) = 𝒄, dengan c adalah konstanta bilangan Real.

𝑱𝒊𝒌𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒄; 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒇′(𝒙) = 𝟎

Ø   Untuk fungsi linear mempunyai bentuk umum 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃, dengan a dan b anggota bilangan Real.

𝑱𝒊𝒌𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒇′(𝒙) = 𝒂

Ø   Untuk fungsi kuadrat mempunyai bentuk umum 𝒚 = 𝒂𝒙𝒏, dengan a
anggota bilangan Real dan n pangkat/eksponen

𝑱𝒊𝒌𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙^𝒏 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒇′(𝒙) = 𝒂𝒙^{𝒏 – 𝟏}

Nahhh setelah Ananda merumuskan rumus umum turunan seperti di atas, maka dapat Ananda lihat untuk pengerjaan soal turunan dapat langsung menggunakan rumus tersebut.

Contoh.

Tentukan turunan pertama dari

a)     𝑦 = 100
Alternatif Penyelesaian:

𝑦′ = 0

 

b)    𝑦 = 19𝑥 – 5
Alternatif Penyelesaian:

𝑦′ = 19

 

c)     𝑦 = 6𝑥³
Alternatif Penyelesaian:

𝑦′ = 6(3)³⁻¹ = 18𝑥²

 

d)    
Alternatif Penyelesaian:

Untuk menjawab soal ini kita harus mengubah bentuk akar ke dalam
bentuk pangkat pecahan.
     
Jadi Ananda punya koefisien = 5, pangkat = 2/3.

 

e)     𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 15
Alternatif Penyelesaian:

Fungsi tersebut adalah fungsi linear maka 𝑓′(𝑥) = 2.

 

f)      𝑓(𝑥) = 2𝑥³ – 21𝑥² – 12𝑥 + 10
Alternatif Penyelesaian:

𝑓′(𝑥) = 2(3)𝑥³⁻¹ − 21(2)𝑥²⁻¹ − 12(1)𝑥¹⁻¹ + 0
𝑓′(𝑥) = 6𝑥² − 42𝑥 – 12

 

g)     f (𝑥) = (2𝑥 + 3)(𝑥³ – 2𝑥²)
Alternatif Penyelesaian:

Perhatikan bahwa soal ini merupakan perkalian dua fungsi berbeda, yaitu fungsi 2𝑥 + 3 𝑑𝑎𝑛 𝑥³ – 2𝑥². Untuk menjawab soal ini Ananda dapat mengalikan satu persatu tiap komponen fungsi terlebih dahulu, ini tidak sulit karena masing-masing fungsi yang berada di dalam kurung berpangkat satu.
Setelah dikalikan maka fungsi 𝑓(𝑥) menjadi:
𝑓(𝑥) = 2𝑥⁴ – 4𝑥³ + 3𝑥³ – 6𝑥²
𝑓(𝑥) = 2𝑥⁴ – 𝑥³ – 6𝑥²
Setelah ini baru kita turunkan
𝑓′(𝑥) = 2(4)𝑥⁴⁻¹ − 1(3)𝑥³⁻¹ − 6(2)𝑥²⁻¹

𝑓′(𝑥) = 8𝑥³ − 3𝑥² − 12𝑥

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Sifat turunan fungsi. Please share...!