Kadang-kadang kita menemukan pembatasan dalam pemilihan penyusunan unsur-unsur tertentu. Untuk masalah seperti ini, terlebih dahulu kita selesaikan pembatasannya, kemudian baru kita gunakan kaidah pencacahan.
Contoh
Diketahui 5
mobil berbeda dan 4 motor berbeda yang sedang diparkir berbaris. Berapa banyak
carakah barisan kendaraan ini dapat dibentuk dengan urutan kendaraan yang
berbeda?
Tentukan
juga banyak cara barisan berbeda dapat dibentuk jika :
a.
dua
motor harus ada di depan
b.
satu
mobil di depan dan satu motor di belakang.
c.
mobil
harus berkelompok
d.
tidak
boleh dua mobil berdekatan
Alternatif Penyelesaian:
Jika mobil dan motor tidak dibedakan, maka terdapat 9 unsur berbeda (dari
5 mobil dan 4 motor). Jadi, Banyak cara membentuk barisan kendaraan dengan
urutan yang berbeda adalah permutasi 9 unsur dari 9 unsur atau P(9, 9).
Berikutnya kita akan menentukan permutasi dari susunan mobil dan motor
dengan beberapa pembatasan. Misalkan MT = motor dan MB = mobil.
a. Dua motor
harus ada di depan
· Dua kotak (tempat) pertama diisi dengan 2 motor yang
dipilih dari 4 motor yang tersedia.
Banyak
cara memilih 2 motor dari 4 motor tersebut adalah: 
· Sisa 7 kotak (tempat) lainnya, dapat diisi dengan 7
kendaraan yang tersisa. Ini adalah P(7, 7) = 7!
Dengan aturan perkalian, maka
banyak cara dua motor harus ada di depan adalah 12 × 7! = 12 × 5.040 = 60.480
Jadi, banyak cara barisan berbeda
dapat dibentuk jika dua motor harus ada di depan adalah 60.480 cara.
b. Satu mobil
di depan dan satu motor di belakang
· Kotak pertama harus diisi mobil, dapat diisi dengan
mobil mana saja dari 5 mobil yang ada, jadi kotak pertama dapat diisi dengan 5
cara.
· Kotak terakhir harus diisi motor, dapat diisi dengan
motor mana saja dari 4 motor yang ada, berarti kotak terakhir dapat diisi
dengan 4 cara.
· Sisa 7 kotak yang dapat diisi dengan 7 kendaraan
yang tersisa, berarti P(7, 7) = 7!.
Dengan aturan perkalian, maka
banyaknya cara menyusun agar satu mobil di depan dan satu motor di belakang
adalah 5 × 7! × 4 = 20 × 5.040 = 100.800
Jadi, banyak cara barisan berbeda
dapat dibentuk jika satu mobil di depan dan satu motor di belakang adalah
60.480 cara.
c. Mobil harus
berkelompok
· Agar mobil (5 mobil) berkelompok, maka kita memblok
dan menganggapnya sebagai satu unsur. Dalam blok ini, kelima mobil dapat
dipertukarkan dalam P(5, 5) = 5! cara.
· Kemudian blok mobil ini beserta 4 motor membentuk 5
unsur yang juga dapat dipertukarkan dalam P(5, 5) = 5! cara.
Dengan menggunakan aturan
perkalian, banyaknya cara menyusun agar mobil berkelompok adalah 5! × 5! = 120 × 120 =14.400.
Jadi, banyak cara barisan berbeda
dapat dibentuk mobil harus berkempok adalah 14.400 cara.
d. Tidak boleh
dua mobil berdekatan
Supaya
mobil tidak berdekatan, maka posisi mobil dan motor haruslah berselang-seling
seperti ilustrasi berikut.
· Kelima posisi mobil dapat dipertukarkan dalam P(5,
5) = 5! cara.
· Keempat posisi motor dapat dipertukarkan dalam P(4,
4) = 4! cara.
Dengan menggunakan aturan
perkalian, banyaknya cara menyusun agar tidak boleh dua mobil berdekatan adalah
5! × 4! = 120 × 24 = 2.880
Sumber
Thanks for reading Permutasi dengan Pembatasan (Semua Unsur Berbeda). Please share...!
