Latihan Soal Essay Persamaan Dan Pertidaksamaan Logaritma

Sabtu, 24 Agustus 2024

Jawablah soal-soal di bawah ini dengan benar!

1.     Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut:

a. ²log (x² + 4x) = 5

b. log (x – 2) + (log (x – 7) = log 6

c. ³log 2x – 2.³log x² – 8 = 0

d. ^{2x – 5}log (2x + 1) = ^{2x – 5}log (2x + 4)

Alternatif Penyelesaian:

a.  ²log (x² + 4x) = 5

²log (x² + 4x) = ²log 25 = ²log 32

Pada logarima harus dipenuhi (syarat numerus):

x² + 4x > 0 ⇔ x(x + 4) > 0 ↔ x < –4 atau x > 0

jadi syarat logartima: x < –4 atau x > 0

Syarat persamaan:

²log (x² + 4x) = ²log 32

⇔ x² + 4x = 32

⇔ x² + 4x – 32 = 0

⇔ (x – 4)(x + 8)=0

⇔ x = –8 atau x = 4

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {–8, 4}.

 

b.  log (x – 2) + (log (x – 7) = log 6

syarat numerus:

x – 2 > 0 ⇔ x > 2,

x – 7 > 0 ⇔ x > 7

jadi syarat numerus: x > 7

Syarat persamaan:

log (x -2) + (log (x – 7) = log 6

⇔ log (x – 2).(x – 7) = log 6

⇔ log (x² – 9x + 14 = log 6

⇔ x² – 9x + 14 = 6

⇔ x² – 9x + 8 = 0

⇔ (x – 1)(x – 8 ) = 0

⇔ 𝑥 = 1 (tidak memenuhi) atau x = 8

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {8}.

 

c.  ³log 2x – 2.³log x² – 8 = 0

⇔ ³log2x – 4.³log x – 8 = 0

Misal ³log x = p, maka diperoleh:

p² – 4p – 8 = 0

⇔ (p – 4)(p + 2) = 0

⇔ p = 4 atau p = –2

⇔ ³log x = 4 atau ³log x = –2

⇔ x = 3⁴ = 81 atau  

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah .

 

d.  ^{2x – 5}log (2x + 1) = ^{2x – 5}log (2x + 4)

Syarat numerus:

2x – 5 ≠ 1 ⇔ x ≠ 3

2x + 1 > 0 ↔ 𝑥 > − ½  

2x + 4 > 0 ↔ x > -2

Syarat: x ≠ 3 dan x > −½

Syarat persamaan:

^{2x – 5}log (2x + 1) = ^{2x – 5}log (x + 4)

2x + 1 = x + 4

x = 3

Karena x ≠ 3, maka himpunan penyelesaiannya adalah { }.

 

2.     Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut:

a. ³log (x – 2) < 2

b. ²log (x – 3) + ²log (x + 3) ≥ 4

c. 2.log x ≤ log (2x + 5) + 2.log 2

d. ²log2 x + 2.²log 2x > 2

Alternatif Penyelesaian:

a.  Syarat numerus: x – 2 > 0 ⇔ x > 2

Syarat persamaan:

³log (x – 2) < 2

⇔ ³log (x – 2) < ³log 3²

Karena a > 0, maka tanda tidak berubah.

x – 2 < 9

x < 11

Syarat: x > 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x| 2 < x < 11, x ∈ R}.  

 

b.  Syarat numerus:

x – 3 > 0 ⇔ 𝑥 > 3

x + 3 > 0 ⇔ 𝑥 > −3

Syarat persamaan:

²log (x – 3) + ²log (x + 3) ≥ 4  

⇔ ²log (x – 3) + ²log (x + 3) ≥ ²log 2⁴

⇔ ²log (x – 3)(x + 3) ≥ ²log 16

⇔ (x – 3)(x + 3 ) ≥ 16

⇔ (x² – 9) ≥ 16

⇔ x² – 9 – 16 ≥ 0

⇔ (x² – 25) ≥ 0

⇔ (x + 5)(x – 5) ≥ 0

⇔ x ≤ -5 atau x ≥ 5

Syarat numerus: x > 3

Jadi, himpunan penyelesaian adalah {x| x ≥ 5 , x ∈ R }.

 

           c.  2.log x ≤ log (2x + 5) + 2.log 2

Syarat numerus:

x > 0

2x + 5 > 0 ⇔ x > −52

Syarat persamaan:

2.log x ≤ log (2x + 5) + 2.log 2

⇔ log x² ≤ log (2x + 5) + log 2²

⇔ log x² ≤ log 4(2x + 5)

⇔ log x² ≤ log (8x + 20)

⇔ x² ≤ (8x + 20)

⇔ x² – 8x – 20 ≤ 0

⇔ (x + 2)(x – 10) ≤ 0

⇔ -2 ≤ x ≤ 10

Irisan dengan syarat numerus jadi 0 ≤ x ≤ 10

Himpunan penyelesaiannya adalah {x| 0 ≤ x ≤ 10, x ∈ 𝑅}

 

d.  2x – ⁵log (2x + 1) = 2x – ⁵log (2x + 4)

          ²log 2x + 2.²log 2x > 2

Syarat numerous: x > 0

Syarat persamaan:

²log 2x + 2.²log 2x > 2 ↔ ²log 2x + 2.(²log 2 + ²log x) > 2

⇔ ²log 2x + 2.1 + 2.²log x – 2 > 0

⇔ ²log 2x + 2.²log x > 0

Misalkan 2log x = p, maka diperoleh

p² + 2p > 0 ↔ p(p + 2) > 0

⇔ p < -2 atau p > 0

⇔ ²log x < -2 atau ²log x > 0

⇔ x < ¼ atau x > 1

Irisan dengan syarat numerous jadi: 0 x < ¼ atau x > 1

Jadi himpunan penyelesaiannya: {x|0 x < ¼ atau x > 1, x ∈ R}.

 

 “Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Latihan Soal Essay Persamaan Dan Pertidaksamaan Logaritma. Please share...!