2. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Kamis, 24 Oktober 2024

2. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Jika garis y = mx + n sembarang dan L adalah lingkaran dengan jari-jari r, maka ada tiga kedudukan garis terhadap lingkaran L sebagaimana ditunjukkan pada gambar berikut.

Langkah-langkah menentukan kedudukan garis y = mx + n terhadap lingkaran L sebagai berikut:

a.     Substitusi y dari persamaan garis y = mx + n ke persamaan lingkaran L.

b.     Susun persamaan kuadrat sekutu dalam variabel x (bentuk ax + bx + c = 0).

c.      Hitung nilai diskriminan persamaan kuadrat sekutu dengan rumus D = b² – 4ac.

d.     Periksa tanda diskriminan D dengan kriteria:

•         Jika D > 0 maka garis memotong lingkaran pada dua titik.

•         Jika D = 0 maka garis menyinggung lingkaran (ada satu titik potong)

•         Jika D < 0 maka garis tidak memiliki titik potong dengan lingkaran.

 

Kedudukan Garis terhadap Lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan persamaan kuadrat sekutu antara garis dan lingkaran.

•         Jika D > 0, maka garis memotong lingkaran pada dua titik.

•         Jika D = 0, maka garis menyinggung lingkaran (1 titik potong).

•         Jika D < 0, maka garis tidak memotong lingkaran.

 

Contoh 4.

Tentukan kedudukan garis x + y – 2 = 0 terhadap lingkaran x² + y² – 4x + 2y – 20 = 0.

Alternatif Penyelesaian:

Garis x + y – 2 = 0 ⇔ y = –x + 2

Substitusikan y = –x + 2 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh:

Diperoleh nilai a = 1, b = −5, dan c = −6.

Dari persamaan kuadrat sekutu tersebut di atas diperoleh nilai diskriminan

D = b² – 4ac = (−5)² – 4(1)(−6) = 25 + 24 = 49 > 0

Karena nilai D > 0, maka garis x + y – 2 = 0 memotong lingkaran pada dua titik.

Untuk menentukan titik potong antara garis dan lingkaran, maka kita memfaktorkan persamaan kuadrat sekutu sebagai berikut.

Selanjutnya, substitusi nilai x = –1 dan x = 6 ke persamaan garis y = –x + 2.

untuk x = –1 ⇒ y = –x + 2 = –(–1) + 2 = 3

untuk x = 6 ⇒ y = –x + 2 = –(6) + 2 = –4

sehingga diperoleh titik potong antara garis dan lingkaran pada titik (–1, 3) dan titik (6, –4).

Contoh 5.

Tentukan kedudukan garis 3x + y + 10 = 0 terhadap lingkaran x² + y² – 8x + 4y – 20 = 0.

Alternatif Penyelesaian:

Garis 3x + y + 10 = 0 ⇒ y = –3x – 10

Substitusikan y = –3x – 10 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh:

diperoleh nilai a = 1, b = 4, dan c = 4.

Dari persamaan kuadrat sekutu tersebut di atas diperoleh nilai diskriminan

D = b² – 4ac

    = (4)² – 4(1)(4) = 16 – 16 = 0

Karena nilai D = 0, maka garis 3x + y + 10 = 0 memotong lingkaran di satu titik, atau dikatakan garis menyinggung lingkaran.

Titik singgung dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadrat sekutu.

x² + 4x + 4 = 0 ⇔ (x + 2)² = 0 ⇔ x = –2

selanjutnya nilai x = –2 disubstitusikan ke persamaan garis, diperoleh

y = –3x – 10 ⇔ y = –3(–2) – 10 = –4

sehingga diperoleh titik singgung garis dan lingkaran pada titik (–2, –4).

Contoh 6.

Tentukan kedudukan garis x + y = 4 terhadap lingkaran L ≡ x² + y² = 3

Alternatif Penyelesaian:

Garis x + y = 4 ⇔ y = 4 – x

Substitusikan y = 4 – x ke persamaan lingkaran, diperoleh :

x² + y² = 3 ⇔ x² + (4 – x)² = 3

⇔ x² + 16 – 8x + x² = 3

⇔ 2x² – 8x + 13 = 0

diperoleh nilai a = 2, b = –8, c = 13.

Dari persamaan kuadrat sekutu tersebut di atas diperoleh nilai diskriminan

D = b² – 4ac = (–8)2 – 4(2)(13) = 64 – 104 = –40 < 0

Karena nilai D < 0, berarti garis x + y = 4 tidak memiliki titik potong dengan lingkaran (garis berada di luar lingkaran).

Contoh 7.

Tentukan nilai m agar garis y = mx + 3 menyinggung lingkaran x² + y² = 9.

Alternatif Penyelesaian:

Substitusikan y = mx + 3 ke persamaan lingkaran x² + y² = 9, diperoleh :

x² + y² = 9 ⇔ x² + (mx + 3)² = 9

⇔ x² + m²x² + 6mx + 9 = 9

⇔ (1 + m²)x² + 6mx + 9 – 9 = 0

⇔ (1 + m²)x² + 6mx = 0

diperoleh nilai a = (1 + m²), b = 6m, c = 0.

Dari persamaan kuadrat sekutu tersebut di atas diperoleh nilai diskriminan

D = b² – 4ac = (6m)² – 4(1 + m²)(0) = 36m² – 0 = 36m²

Diketahui garis y = mx + 3 menyinggung lingkaran x² + y² = 9, berarti nilai diskriminan D = 0

⇔ 36m² = 0

⇔ m = 0

Jadi, garis y = mx + 3 akan menyinggung lingkaran x² + y² = 9 jika nilai m = 0 atau persamaan garis adalah y = 3.

 

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading 2. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran. Please share...!