Relasi dan Fungsi

Kamis, 26 September 2019

A. Produk Cartesius

Produk cartesius dari A ke B dilambangkan A × B sedemikian sehingga.

A × B = {(x, y) ⃒ x ∈ A dan x ∈ B, A dan B himpunan tak kosong}.

 
Sifat

1.  A × B ≠ B × A

2.  Jika n (A) = n₁ dan an (B) = n₂, maka n (A × B) = n₁.n₂.

Keteragan:

n (A) = banyaknya anggota himpunan A
n (B) = banyaknya anggota himpunan B


B. Relasi Dari A ke B

Merupakan himpunan bagian dari A × B

Sifat

Jika n (A) = n₁ dan n (B) = n₂, maka banyaknya relasi dari A ke B atau B ke A .

C. Fungsi Dari A ke B

Merupakan relasi yang memasangkan setiap elemen A ke satu elemen B.

Sifat
Jika n (A) = n₁ dan n (B) = n₂, maka banyaknya fungsi yang dapat dibuat dari A ke B


D. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi

Fungsi f : A → B 

Jika x ∈ A  dan y ∈ B

Diperoleh bentuk y = f (x)

Domain = Semua anggota himpunan A yang mengakibatkan y terdefinisi.

Kodomain = Semua anggota himpunan B.

Range = Semua nilai y  yang memenuhi y = f (x), dimana x merupakan domain dari fungsi f.

Domain dari beberapa fungsi

Keterangan

D_f  = Domain fungsi

Range dari fungsi kuadrat 

f (x) =  ax² + bx + c 

• a ˂ 0 → R_f  : y < − (D / 4a )
• a ˃ 0 → R_f  : y ˃ − (D / 4a )

Keterangan

R_f  = range fungsi

D = diskriminan (b²  − 4ac)

Operasi fungsi

•        (f  ± g) (x) = f (x) ± g (x)
•  (k f) (x) = k f (x)
  
•  (f ·g) (x) = f (x) · g (x)

E. Fungsi Komposisi

Jika fungsi f dan g memenuhi R_f ∩ D_g ≠ Ø maka terdapat fungsi dari himpunan bagian Df  ke himpunan bagian R_g yang dinamakan komposisi dari g dan f, ditulis : g ∘ f  (f  dilanjutkan g).

Keterangan

Rf  = range fungsi f

Rg = range fungsi g

Df  = domain fungsi f

Dg = domain fungsi g

Karena y = f (x) dan z = g (y) maka g ∘ f  (x) = z = g (f (x))

Akibat

• f ∘ g (x) = f (g (x)) 
• g ∘ f (x) = g (f (x)) 
•  f ∘ g ∘ h (x) = f ∘ g (h (x)) = f (g(h (x))) 

Sifat

•        (f ∘ g) (x) ≠ (g ∘ f) (x)
•            ((f ∘ g) ∘ h) (x) ≠ (f ∘ (g ∘ h)) (x)

F. Fungsi Invers

Jika fungsi f : A → B maka invers dari f dapat ditulis f -1 : B → A

f (x) = y → f ^-1(y) = x

Sifat-sifat yang berlaku

•       (f ∘ f ^-1) (x) = (f ^-1∘ f) (x) = x
•            (f ∘ g)^-1(x) = (g^-1∘ f ^-1
•           ( f ^-1)^-1(x) = f (x) 
•           (f ∘ g) (x) = h (x) → f (x) = (h ∘ g^-1) (x) 
•           (f ∘ g) (x) = h (x) → g (x) = (f ^-1∘ h) (x) 

Labels: Matematika

Thanks for reading Relasi dan Fungsi. Please share...!