Dalil Stewart

Sabtu, 28 Januari 2023

Dalil Stewart menyatakan hubungan antara sisi-sisi segitiga dengan panjang ruas garis yang menghubungkan titik sudut dengan sisi yang ada dihadapan
sudut tersebut (seperti pada gambar disamping).

 

Pada segitiga ABC disampping, jika titik D terletak pada sisi AB sehingga panjang AD = m, DB = n dan m + n = a, maka panjang garis AD = d dirumuskan:
CD²⋅AB = CB²⋅AD + CA²⋅DB – AD⋅DB⋅AB
d²⋅c = a²⋅m + b²⋅n – m⋅n⋅c

Bukti dalil ini akan dijelaskan sebagai berikut :

Sebelum masuk pada pembahasan bukti dalil Stewart, akan diuraikan terlebih
dahulu dua teorema pendukungnya, yaitu teorema proyeksi segitiga lancip dan
teorema proyeksi segitiga tumpul.

Teoremal proyeksi segitiga lancip.

Misalkan panjang BD = p maka AD = c – p
Pada ∆ACD dan ∆BCD masing-masing siku-siku di D, sehingga berlaku
CD² = a² – p²
CD² = b² – (c – p)²
Sehingga :   b² – (c – p)²= a² – p²

b² – c² + 2cp – p² = a² – p²
b² = c² + a² – 2cp

 

Teorema proyeksi segitiga tumpul

Misalkan panjang AD = p maka BD = c + p.
Pada ∆ACD dan ∆BCD masing-masing siku-siku di D, sehingga berlaku:
CD² = a² – (c – p)²
CD² = b² – p²

Sehingga :   a² – (c – p)² = b² – p²

a² – c² – 2cp – p² = b² – p²
a² = c2 + a² + 2cp

 

Kemudian akan dijelaskan bukti dalil Stewart dengan kedua teorema proyeksi
diatas.

Menurut teorema proyeksi segitiga lancip BCD
a² = d² + n² – 2n.DP
a²m = d²m + n²m – 2n.m.DP            … (1)

 

Menurut teorema proyeksi segitiga tumpul ACD
b² = d² + m² + 2m.DP
b²n = d²n + m²n – 2m.n.DP              … (2)

 

Persamaan (1) dan (2) dieliminasi, diperoleh:

a²m = d²m + n²m – 2n.m.DP
b²n  = d²n + m²n – 2m.n.DP

-------------------------------------- +
a²m + b²n = d²(m + n) + n²m + m²n
a²m + b²n = d²(m + n) + nm(m + n)
a²m + b²n = d²c + nm.c
d²c = a²m + b²n – nm.c           (Terbukti)

 

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

1.    Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 4 cm, BC = 8 cm dan AC = 6 cm. Titik D terletak pada garis BC dengan BD = 2 cm dan titik E terletak pada AC dengan AE = 4 cm. Tentukan panjang AE …

Alternatif Pembahasan :

 

Menentukan panjang AD dengan dalil Stewart pada segitiga ABC:
AD².BC = AC².BD + AB².DC – BD. DC. BC
AD².(8) = (6)².(2) + (4)².(6) – (2)(6)(8)
8. AD² = 72 + 96 – 96
8. AD² = 72
AD² = 9 maka AD = 3 cm

Menentukan panjang AD dengan dalil Stewart pada segitiga ADC:
DE².AC = AD².CE + DC².EA – CE. EA. AC
AD².(6) = (3)².(2) + (6)².(4) – (2)(4)(6)
6. AD² = 18 + 144 – 48
6. AD² = 114
AD² = 19         maka           AD = Ö(19) cm.

 

2.    Pada segitiga ABC diketahui AB = 8 cm, BC = 7 cm dan AC = 6 cm. Pada
perpanjangan AB terdapat titik D, sehingga BD = ½ AD. Hitunglah panjang CD …

Alternatif Pembahasan :

 

 

Kita terapkan dalil Stewart pada segitiga ACD
CB².AD = CD².AB + AC².BD – AB. BD. AD
(7)².(16) = CD².(8) + (6)².(8) – (8).(8).(16)

     98 = CD² + 36 – 128
     CD² = 190          maka           CD = Ö(190) cm.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Dalil Stewart. Please share...!