Irisan Kerucut

Kamis, 21 November 2019

Persamaan derajat dua dalam dua variabel x dan y menyatakan salah satu dari bentuk berikut:

A.   Lingkaran

1.      Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari r adalah x² + y² = r²

2.      Persamaan lingkaran dengan pusat (p, q) dan berjadi-jari r adalah persamaan

(x – p)² + (y – q)² = r²

3.      Bentuk umum persamaan lingkaran adalah

                  

            x² + y² + Ax + By + C = 0

B.   Parabola

a. Persamaan parabola dengan puncak (0, 0) dan mempunyai titik fokus.

1. di (c, 0) adalah y² = 4cx dengan c > 0
2. di (– c, 0) adalah y² = – 4cx dengan c > 0
3. di (0, c) adalah x² = 4cy dengan c > 0
4. di (0, – c) adalah x² = – 4cy dengan c > 0

b. Persamaan parabola dengan puncak (p, q) dan mempunyai titik fokus.

1. di (p + c, q) adalah (y – q)² = 4c (x – p) dengan c > 0
2. di (p – c, q) adalah (y – q)² = – 4c (x – p) dengan c > 0
3. di (p, q + c) adalah (x – q)² = 4c (y – q) dengan c > 0
4. di (p, q – c) adalah (x – q)² = – 4c (y – q) dengan c > 0

C.   Elips

a. Persamaan elips dengan pusat (0, 0) dan sumbu simetri yang sejajai sumbu X dan Y adalah:   

1.  jika a > b, maka titik fokus berada di sumbu X dengan koordinat F₁ (c, 0) dan F₂ (– c, 0) dan c² = a² – b
2. jika a < b, maka titik fokas berada di sumbu Y dengan koordinat F₁ (0, c) dan F (0, – c) dan c² = b² – a²

b. Persamaan elips dengan pusat (p, q) dan sumbu simetri yang sejajar sumbu X dan Y adalah: 

     

1.  jika a > b, maka titik fokus berada di sumbu X dengan koordinat F₁ (p + c, q) dan F₂ (p – c, q) dan c² = a² – b².
2. jika a < b, maka titik fokus berada di sumbu Y  dengan koordinat F₁ (p, q + c) dan F (p, q – c) dan c² = b² – a².

D.   Hiperbola

a. Persamaan hiperbola dengan pusat (0, 0) dan sumbu simetri yang sejajar sumbu X dan Y adalah:

1. jika ruas kanan 1, hiperbola memotong sumbu X dan titik fokus berada di sumbu X juga dengan koordinat F₁ (c, 0) dan F₂ (– c, 0) dan c² = a² + b.
2. jika ruas kanan – 1, hiperbola memotong sumbu Y dan titik fokus berada di sumbu Y juga dengan koordinat F₁ (0, c) dan F (0, – c) dan c² = b² + a².

b. Persamaan hiperbola dengan pusat (p, q) dan sumbu simetri yang sejajar sumbu X dan Y adalah:

1. jika ruas kanan 1, hiperbola memotong sumbu simetri sejajar dengan sumbu X dan koordinat titik fokus F₁ (p + c, q) dan F₂ (p – c, q) dengan c² = a² + b.
2. jika ruas kanan – 1, hiperbola memotong sumbu simetri sejajar dengan sumbu Y dan koordinat titik fokus F₁ (p, q + c) dan F₂ (p, q – c) dengan c² = a² + b².

E.   Sepasang Garis

     a.       Persamaan sepasang garis berpotong di (0, 0) mempunyai bentuk:

     b.      Persamaan sepasang garis berpotong di (p, q) mempunyai bentuk:

    Atau

(Ax + By + C) (Dx  + Ey + F) = 0

F.   Titik (p, q) persamaan (x – p)² + (y – q)² = 0.

G.  Tidak mempunyai bentuk 

                       

           

Dengan K < 0.

H.   Eksentrisitas

Eksentrisitas untuk mengukur kemiringan suatu bentuk lengkungan.

a.       Eksentrisitas lingkaran e = 0

b.      Eksentrisitas elips e = c/a atau e = c/b dengan penyebut adalah ½ sumbu panjang

c.       Eksentrisitas parabola e = 1

d.      Eksentrisitas hiperbola e = c/a atau e = c/b dengan penyebut ½ sumbu utama.

Eksentrisitas adalah perbandingan jarak titik di lengkungan dengan titik fokus dan suatu garis direktriks. Persamaan garis ditektriks untuk lengkungan dengan pusat di (0, 0) adalah x = ± c/e² atau y = ± c/e². Karena lingkaran e = 0, maka lingkaran tidak mempunyai garis direktriks atau garis direktriks lingaran di jauh tak hingga.

I.   Persamaan Garis Singgung Melalui Titik

Persamaan di atas (lingkaran, parabola, elips dan hiperbola di atas) dapat ditulis sebagai

                        Ax₂ + By₂  + Cx + Dy + E = 0

Tanpa memuat suku xy. Persamaan garis singgung melalui titik (x₁, y₁) di lengkungan mempunyai bentuk

                        Ax₁x + By₁y + C/2 (x₁ + x) + D/2 (y₁y) + E = 0.

J.   Persamaan Garis Singgung DenganGradien Diketahui

a.      Persamaan garis singgung pada elipsdengan gradien m diketahui adalah

b.     Persamaan garis  singgung pada lingkaran x² + y² = r² atau dengan gradien m diketahui dapat diperoleh dari persamaan garis singgung elips dengan dengan mensubstitisikan a² = b² = r² (hal yang sama kita lakukan dari persamaan elips ke lingkaran).

c.     Persamaan garis singung pada hiperboladengan gradien m diketahui dapat diperoleh dari persamaan garis singgung elips dengan mengganti b² dengan – b² (hal yang sama kita lakukan dari persamaan elips ke hiperbola).

d.     Persamaan garis singung pada hiperboladengan gradien m diketahui dapat diperoleh dari persamaan garis singung elips dengan mengganti a² dengan – a² (hal yang yang sama kita lekukan dari persamaan elips ke hiperbola).

e.     Persamaan garis singung pada parabola y² = 4px dengan gradien m diketahui adalah y = mx + p/m.

f.      Persamaan garis singung pada parabola x² = 4py dengan gradien m diketahui adalah y = mx + m²p.

K. Persamaan Lengkungan Kerucut dengan Pusat (p, q)

Persamaan garis singung pada lengkungan dengan pusat (p, q) dapat diperoleh dengan mengganti x dan y pada persamaan garis singung dengan pusat (0, 0) dengan x – p dan y – q.

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Irisan Kerucut. Please share...!