Untuk memahami konsep nilai mutlak, akan diilustrasikan dengan cerita berikut ini: Seorang anak pramuka sedang latihan baris berbaris. Dari posisi diam, si anak diminta maju 2 langkah ke depan, kemudian 4 langkah ke belakang. Dilanjutkan dengan 3 langkah ke depan dan akhirnya 2 langkah ke belakang. Dari cerita di atas dapat diambil permasalahan :
a.
Berapakah
banyaknya langkah anak pramuka tersebut dari pertama sampai terakhir ?
b.
Dimanakah
posisi terakhir anak pramuka tersebut, jika diukur dari posisi diam? (berapa
langkah ke depan atau berapa langkah ke belakang)
Untuk
menjawab permasalahan diatas, akan diberikan gambar garis bilangan berikut:
Dari gambar
di atas, kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi diam (awal) si anak. Anak
panah ke kanan menunjukkan arah langkah ke depan (bernilai positif) dan anak panah
ke kiri menunjukkan arah langkah ke belakang (bernilai negatif). Sehingga permasalahan
di atas dapat dijawab sebagai berikut :
a.
Banyaknya
langkah anak pramuka tersebut dari pertama sampai terakhir adalah Bentuk
penjumlahan 2 + 4 + 3 + 2 = 11 langkah. Bentuk penjumlahan ini merupakan
penjumlahan tampa memperhatikan arah ke depan (positif) dan ke belakang
(negatif).
b.
Dari
gambar diatas, dapat dilihat bahwa posisi terakhir anak pramuka tersebut, jika diukur
dari posisi diam adalah 1 langkah ke belakang (x = –1). Hasil ini didapat dari bentuk
penjumlahan 2 + (–4) + 3 + (–1) = –1. Bentuk penjumlahan ini merupakan penjumlahan
dengan memperhatikan arah ke depan (positif) dan ke belakang (negatif).
Ilustrasi
dari penyelesaian soal (a) di atas merupakan dasar dari konsep nilai mutlak.
Dimana Nilai
mutlak suatu bilangan real x merupakan jarak antara bilangan itu dengan nol
pada garis bilangan. Dan dilambangkan dengan │x│. Secara formal nilai mutlak didefinisikan
:
Dari konsep
diatas diperoleh : │–3│ = 3 , │–15│ = 15 , │6│ = 6 , │10│ = 10 dan seterusnya.
Untuk lebih
memahami pertidaksamaan nilai mutlak, perhatikan contoh berikut :
1.
Tentukanlah
nilai
(a) │–4│ + │5│ – │–3│
(b) 6 – │–2│ + │–5│ + 1
(c) │4 + 2│–│3 – 8│
(d) 3 ×│2 – 6│
(e) │2 – 5│×│4 + 1│
Jawab
(a) │–4│ + │5│ – │–3│ = 4
+ 5 – 3 = 6
(b) 6 – │–2│ + │–5│ + 1 =
6 – 2 + 5 + 1 = 10
(c) │4 + 2│–│3 – 8│ =
│6│–│–5│ = 6 – 5 = 1
(d) 3 ×│2 – 6│ = 3 ×│–4│
= 3 × 4 = 12
(e) │2 – 5│×│4 + 1│ = │–3│×│5│ = 3 × 5 = 15
2.
Manakah
diantara operasi berikut ini yang bernilai benar
(a) │a│ + │b│ = │a + b│
(b) │a│ × │b│ = │a × b│
(c) │a│ – │b│ = │a – b│
Jawab
(a) Salah
(b) Benar
(c) Salah
3.
Seekor
bekicot akan menaiki tiang bendera dimulai awal tanggal 5 Agustus. Jika pada
tanggal ganjil bekicot itu bergerak naik setinggi 6 m, dan pada tanggal genap
ia turun sejauh 4 m, maka ia akan tiba dipuncak tiang bendera tepat pada akhir
tanggal 17 Agustus.
(a) Berapakah tinggi
tiang bendera
(b) Berapakah jauh
perjalanan bekicot itu?
Jawab
(a) Tinggi tiang bendera
= 6 – 4 + 6 – 4 + 6 – 4 + 6 – 4 + 6 – 4
+ 6 – 4 + 6
= 18 m
(b) jauh perjalanan
bekicot itu
= 6 + │–4│+ 6 +│–4│+ 6 +│–4│+ 6 +│–4│+ 6
+│–4│ + 6 +│–4│+ 6
= 66 m
Untuk
menyelesaikan persamaan nilai mutlak, dapat menggunakan definisi nilai mutlak
atau menggunakan sifat-sifat nilai mutlak, yakni sebagai berikut:
1.
(a)
Jika │f(x)│= a maka f(x)
= a atau f(x) = –a (definisi nilai mutlak)
(b) Jika │f(x)│=
a maka f 2 (x) = a2 (sifat nilai mutlak)
2.
(a)
Jika │f(x)│= │g(x)│ maka f(x) = g(x)
atau f(x) = –g(x) (definisi nilai mutlak)
(b) Jika │f(x)│=
│g(x)│ maka f 2 (x) = g2
(x) (sifat nilai mutlak)
3.
(a)
Jika │f(x)│= g(x) maka f(x) = g(x)
atau f(x) = –g(x) (definisi nilai mutlak)
(b) Jika │f(x)│= g(x)
maka f 2 (x) = g2
(x) (sifat nilai mutlak)
Catatan:
Jika x1 adalah
penyelesaiannya maka g(x1) ≥ 0
Untuk lebih
memahami pertidaksamaan nilai mutlak, perhatikan contoh berikut :
1.
Tentukan
nilai x yang memenuhi persamaan
berikut :
(a) │2x – 5│ = 3
(b) │3 – 2x│ = 7
Jawab
(a) Cara 1
2x – 5 = 3 atau 2x – 5 = –3
2x = 3 + 5 2x =
–3 + 5
2x = 8 2x = 2
x = 4 x = 1
Cara 2:
(2x – 5)2
= 32
4x2 – 20x + 25 = 9
4x2 – 20x + 16 = 0
x2 – 5x + 4 =
9
(x – 4)(x – 1) = 0
Jadi x = 1 dan x = 4
(b) Cara 1
3 – 2x = 7 atau 3 – 2x = –7
–2x = 7 – 3 –2x = –7 – 3
–2x = 4 –2x = –10
x = –2 x
= 5
Cara 2:
(3 – 2x)2
= 72
9 – 12x + 4x2 = 49
4x2 – 12x – 40 = 0
x2 – 3x – 10 =
0
(x – 5)(x + 2) = 0
Jadi x1
= 5 dan x2 = –2
Sumber
Thanks for reading Persamaan Nilai Mutlak. Please share...!
