Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Kamis, 18 Agustus 2022

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah suatu pertidaksamaan yang melibatkan bentuk nilai mutlak. Untuk menyelesaikannya, dapat digunakan sifat berikut ini:

 

Bentuk 1

Dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat nilai mutlak, yaitu :

(a)    Jika│f(x)│< a maka –a < f(x) < a

(b)   Jika│f(x)│> a maka f(x) < –a atau f(x) > a

Atau dengan menguadratkan kedua ruas kiri dan kanan, yaitu :

(a)    Jika│f(x)│< a maka f2(x) < a2

(b)   Jika│f(x)│> a maka f2(x) > a2

 

Bentuk 2

Dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat nilai mutlak, yaitu :

(a)    Jika│f(x)│< g(x) maka f(x) > – g(x) dan f(x) < g(x)

(b)   Jika│f(x)│> g(x) maka f(x) < – g(x) atau f(x) > g(x)*-

Atau dengan menguadratkan kedua ruas kiri dan kanan, yaitu :

(a)    Jika│f(x)│< a maka f²(x) < g²(x)

(b)   Jika│f(x)│> a maka f²(x) > g²(x)

Dengan catatan jika x1 adalah penyelesaiannya, maka g(x₁) ≥ 0

 

Bentuk 3

Dapat diselesaikan dengan menguadratkan kedua ruas kiri dan kanan, yaitu :

(a)    Jika│f(x)│<│g(x)│maka f²(x) < g²(x)

(b)   Jika│f(x)│>│g(x)│maka f²(x) > g²(x)

 

Untuk lebih memahami pertidaksamaan nilai mutlak, perhatikan contoh berikut :

 

1.       Tentukanlah interval nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut ini :

(a) │2x + 3│ < 5

(b) │4x – 2│ < 10

(c) │2 – 3x│ < 8

(d) │2x + 6│ > 4

(e) │5 – 3x│ > 4

 

Jawab

 

(a) │2x + 3│ < 5

  –5 < 2x + 3 < 5

  –5 – 3 < 2x + 3 – 3 < 5 – 3

  –8 < 2x < 2

  –4 < x < 1

 

(b) │4x – 2│ < 10

  –10 < 4x – 2 < 10

  –10 + 2 < 4x < 10 + 2

  –8 < 4x < 12

–2 < x < 6

 

(c) │2 – 3x│ < 8

      –8 < 2 – 3x < 8

      –8 – 2 < 2 – 3x – 2 < 8 – 2

      –10 < –3x < 6

      ¹⁰/₃ > x > –2

      –2 < x < ¹⁰/₃

 

(d) │2x + 6│ > 4

      2x + 6 < –4 atau 2x + 6 > 4

      2x < –4 – 6 atau 2x > 4 – 6

      2x < –10 atau 2x > –2

      x < –5 atau x > –1

 

(e) │5 – 3x│ > 4

  5 – 3x < –4 atau 5 – 3x > 4

  –3x < –4 – 5 atau –3x > 4 – 5

  –3x < –10 atau –3x > –1

  x > ¹⁰/₃ atau x < ¹/₃                 

  x < ¹/₃ atau x > ¹⁰/₃

 

2.       Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan mutlak berikut ini dengan sifat pengkuadratan

(a) │2x + 5│< x + 4

(b) │4x – 3│< 2x + 9

 

Jawab

 

(a) │2x + 5│< x + 4

  (2x + 5)² < (x + 4)²

  4x² + 20x + 25 < x² + 8x + 16

  3x² + 12x + 9 < 0

  x² + 4x + 3 < 0

  (x + 1)(x + 3) < 0

  x₁ = –1 dan x₂ = –3

  Jadi –3 < x < –1                              … (1)

 

  Syarat :

  x + 4 ≥ 0

  x ≥ –4                                              … (2)

 

  Sehingga :

  

  Jadi interval penyelesaiannya: –3 < x < –1

 

(b) │4x – 3│ > 2x + 9

  (4x – 3)² > (2x + 9)²

  16x² – 24x + 9 > 4x² + 36x + 81

  12x² – 60x – 72 > 0     

  x² – 5x – 6 > 0

  (x – 6)(x + 1) > 0

  x₁ = 6 dan x₂ = –1

  Jadi x < –1 atau x > 6                                … (1)

 

  Atau :

  2x + 9 ≤ 0

  x ≤ – ⁹/₂                                                     … (2)

 

  Sehingga :

 

  Jadi interval penyelesaiannya: –1 < x < 6

 

3.       Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan │x² – 10x + 22│≤ 2x – 10

 

Jawab

 

│x² – 10x + 22│≤ 2x – 10

–(2x – 10) ≤ x² – 10x + 22 ≤ (2x – 10)

–2x + 10 ≤ x² – 10x + 22 ≤ 2x – 10

 

Maka :

x² – 10x + 22 ≥ –2x + 10    dan    x² – 10x + 22 ≤ 2x – 10

x² – 8x + 12 ≥ 0                  dan    x² – 12x + 32 ≤ 0

(x – 6)(x – 2) ≥ 0                dan    (x – 8)(x – 4) ≤ 0

x₁ = 6 dan x₂ = 2                          x₁ = 8 dan x₂ = 4

x ≤ 2 atau x ≥ 6                  dan    4 ≤ x ≤ 8

 

Syarat :

2x – 10 ≥ 0

2x ≥ 10

x ≥ 5

 

Sehingga :

Jadi interval penyelesaiannya: 6 ≤ x ≤ 8.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Pertidaksamaan Nilai Mutlak. Please share...!