Elips

Rabu, 16 November 2022

 

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi syarat perbandingan jaraknya ke titik tertentu dan jaraknya ke garis tetentu selalu tetap.

Titik tertentu itu dinamakan fokus. dan garis tertentu dinamakan direktris.

Terdapat dua macam bentuk elips, yakni

1.     Elips horizontal

2.     Elips vertical.

Berikut ini akan diruaikan penjelasan mendapatkan bentuk umum elips horizontal dengan pussat O(0, 0).

Pada gambar diatas, misalkan ttitik F dan garis g masing-masing adalah fokus dan direktris ellips, serta P adalah salah satu titik pada elips, maka perbandingan PF dan PR selalu tetap dan kurang dari 1, atau(e dinamakan eksentrisitas).

Dengan memperhatikan garis g tegak lurus dengan sumbu-x, maka terdapat titik A₂ pada sumbu-x sedemikian sehingga,  dan terdapat titik A₁ pada sumbu-x dengan, sehingga A₂ dan A₁ terletak pada ellips.

Misalkan A₂ A₁ = 2a, dan O titik titik tengah, maka A₂O = A₁O = a. Akan ditentukan KO dan FO dalam suku-suku a dan e.

Karena         A₂F = e. KA₂                                               … (1)

FA₁ = e. KA₁                                               … (2)

maka diperoleh : A₂F + FA₁ = e(KA₂ + KA₁)                 … (3)

 

Karena A₂F + FA₁ = 2a, KA₂ = KO – a dan KA₁ = KO + a, maka dari persamaan (3) diperoleh :

2a = e(KO – a + KO + a)

2a = e. 2KO

       

 

Dari (1) dan (2) diperoleh juga :       

          FA₁ – A₂F = e.KA₁ – e.KA₂

FA₁ – A₂F = e.( KA₁ – KA₂)

(a + FO) – (a – FO) = e.([KO + a] – [KO – a])

2.FO = e.2a

FO = ea

 

Dari sini diperoleh koordinat titik focus F(–ea, 0).

Dengan mengambil titik P(–x, y) sebarang titik pada ellips, maka persamaan ellips diperoleh dari kondisi.

Karena F(–ea, 0) dan P(–x, y), maka.

Karena PR = KO – x, maka .

Dengan demikian PF = e.PR 

                             

Ambil a²(1 – e²) = b². diperoleh : 

Jika ae = c maka diperoleh :      a²(1 – e²) = b²

a² – a²e² = b²

a² – c² = b²  maka           c² = a² – b²

 

Selanjutnya akan diuraikan unsur-unsur elips, yakni sebagai berikut:

Nilai eksentrisitas ellips adalah.

Titik puncak elips ada empat, yang kesemuanya berada pada sumbu-x atau sumbu-y.

 

Puncak yang berada pada sumbu-x maka y = 0, sehingga :

         

     

x² = a²

titiknya A₁(a, 0), A₂(–a, 0).

 

Puncak yang berada pada sumbu-x maka x = 0, sehingga :

          

     

y² = b²

titiknya B₁(0, b), A₂(0, –b).

 

Titik fokus elips ada di F₁(c, 0) dan F₂(–c, 0).

 

Untuk menentukan persamaan direktris elips terlebih dahulu dicari jarak dari O ke K yakni:

          

    

Maka persamaan direktriks adalah.

Latus rectum adalah ruas garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus dengan sumbu mayor (sumbu-X). Panjang latus rectum diukur dari jarak kedua titik potongnya dengan elips, sehingga untuk x = c diperoleh :

          

   

Sehingga panjang latus rectum :

 

Untuk elips vertical dengan pusat O(0, 0) persamaan dan unsur-unsurnyanya didapat dengan cara memutar elip horizontal diatas 90°, Sedangkan untuk elips dengan pusat M(p, q) persamaan dan unsur-unsurnyanya didapat dengan cara menggeser (translasi) elips menurut matriks.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Elips. Please share...!