Situs gratis pertama yang direkomendasikan untuk membuat blog adalah Situs gratis pertama yang direkomendasikan untuk membuat blog adalah Blogger.
» » Fungsi Naik dan Fungsi Turun – 1

Fungsi Naik dan Fungsi Turun – 1


Jika titik T(x1, y1) pada kurva y = f(x) dikatakan titik stasioner maka f ′ (x) = 0.

 

Terdapat tiga macam titik stasioner, yaitu :

1.     Titik balik maksimum atau titik maksimu stasioner

2.     Titikbalik minimum atau titik minimum stasioner

3.     Titikbalik horizontal atau titik belok stasioner

 

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

 

1.     Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 10

 

Alternatif Pembahasan :

 

f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 10

f ′ (x) = 3x2 – 6x – 9

 

maka      f ′ (x) = 3x2 – 6x – 9 = 0

    x2 – 2x – 3 = 0

(x – 3)(x + 1) = 0

Jadi         x = 3           y = (3)3 – 3(3)2 – 9(3) + 10 = –17      Titiknya (3, –17)

x = –1         y = (–1)3 – 3(–1)2 – 9(–1) + 10 = 15 Titiknya (–1, 15)

 

 

Uji x = –2                  maka f ′ (–2) = 3(–2)2 – 6(–2) – 9 = 15 > 0

Uji x = 0                    maka f ′ (1) = 3(0)2 – 6(0) – 9 = –9 < 0

Uji x = 4                    maka f ′ (4) = 3(4)2 – 6(4) – 9 = 15 > 0

 

sehingga :         Titik (3, –17) adalah titik maksimum stasioner

Titik (–1, 15) adalah titik minimum stasioner

 

2.     Tentukanlah titik stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 12x + 6

 

Alternatif Pembahasan :

 

f(x) = x3 – 6x2 + 12x + 6

f ′ (x) = 3x2 – 12x + 12

 

maka      f ′ (x) = 3x2 – 12x + 12 = 0

        x2 – 4x + 4 = 0

    (x – 2)(x – 2) = 0

 

Jadi x = 2    y = (2)3 – 6(2)2 + 12(2) + 6 = 14

 

 

Uji x = 0                    maka f ′ (0) = 3(0)2 – 12(0) + 12 = 12 > 0

Uji x = 4                    maka f ′ (4) = 3(4)2 – 12(4) + 12 = 12 > 0

 

sehingga :        Titik (2, 14) adalah titik belok stasioner.

 

 

Misalkan A = {x│ a < x < b} maka berlaku

(1)   Fungsi f dikatakan cekung ke atas dalam interval A jika f ′ (x) > 0, untuk setiap x ∊ A. Dalam hal ini garis singgung f(x) disetiap titik pada interval A berada dibawah kurva.

 

(2)   Fungsi f dikatakan cekung ke bawah dalam interval A jika f ′ (x) < 0, untuk setiap x ∊ A. Dalam hal ini garis singgung f(x) disetiap titik pada interval A berada diatas kurva.

 

Suatu titik T(x1, y1) pada kurva y = f(x) dikatakan titik belok kurva jika f ′ (x1) = 0 atau f ′ (x1) tidak ada serta berlaku:

 

Sebagai contoh akan diuraikan pada soal berikut ini :

 

1.    Tentukanlah interval dimana fungsi f(x) = x4 – 2x3 – 12x2 + 20 cekung atas dan cekung bawah serta tentukan titik beloknya

 

Alternatif Pembahasan :

 

f(x) = x4 – 2x3 – 12x2 + 20

f ′ (x) = 4x3 – 6x2 – 24x

f ″ (x) = 12x2 –12x – 24

 

Sehingga            f ″ (x) = 0

12x2 –12x – 24 = 0

x2 – x – 2 = 0

(x – 2)(x + 1) = 0 maka x1 = 2 dan x2 = –1

 

 

Uji : x = –2      maka f ″ (–2) = 12(–2)2 –12(–2) – 24 = 48 > 0     

                        (cekung ke atas)

Uji : x = 0        maka f ″ (0) = 12(0)2 –12(0) – 24 = –24 < 0                  

                        (cekung ke bawah)

Uji : x = 3        maka f ″ (3) = 12(3)2 –12(3) – 24 = 48 > 0                    

                        (cekung ke atas)

 

Sehingga interval cekung bawah –1 < x < 2 dan interval cekung atas x < –1 atau x > 2

f(–1) = (–1)4 – 2(–1)3 – 12(–1)2 + 20 = 11 Titik beloknya (–1, 11)

f(2) = (2)4 – 2(2)3 – 12(2)2 + 20 = –28 Titik beloknya (2, –28)

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Fungsi Naik dan Fungsi Turun – 1. Please share...!

Back To Top