Bangun-Bangun Pada Geometri Bidang – 2

Selasa, 24 Januari 2023

(3)  Lingkaran

 

Lingkaran merupakan daerah yang dibatasi oleh titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu ini disebut sebagai pusat lingkaran. Ruas garis yang menghubungkan suatu titik pada lingkaran ke pusat dinamakan jarijari. Istilah jari-jari juga dapat digunakan untuk menyatakan panjang ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran dengan titik pada lingkaran.

Pada gambar di atas, garis lengkung BCD disebut busur pendek atau busur kecil, sedangkan garis lengkung BFD disebut busur panjang atau busur besar. Selanjutnya jika disebutkan busur BD maka yang dimaksud adalah busur pendek. Tali busur merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Pada gambar, BF merupakan tali busur. Talibusur yang melalui pusat lingkaran dinamakan diameter.

Apotema suatu lingkaran merupakan ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran ke titik tengah tali busur. Istilah apotema dapat digunakan untuk menyatakan panjangnya. Sebagai contoh pada gambar di atas, ruas garis PQ, ataupun panjang PQ dapat disebut sebagai apotema. Apotema tegak lurus tali busur BF yang bersesuaian.

 

Tembereng merupakan daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busurnya. Juring lingkaran merupakan daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur. Perhatikan pada gambar di atas, bagian DPE yang diarsir merupakan juring kecil, dan bagian yang diarsir ABF merupakan tembereng lingkaran.

Untuk setiap lingkaran perbandingan dari keliling dan diameter selalu bernilai tetap yaitu mendekati 3,14. Nilai ini disebut sebagai π (dibaca “pi”). Sehingga berlaku :

 

maka diperoleh rumus Keliling lingkaran = 2 πr.
Selanjutnya pada lingkaran berlaku pula perbandingan :

Luas lingkaran dapat dirumuskan sebagai :

L = π r²

Dengan r adalah panjang jari-jari lingkaran.

Pada gambar di samping titik P adalah pusat lingkaran, dan titik A, B, C, D, dan E terletak pada lingkaran. ÐCPD disebut sebagai sudut pusat dan ÐBAE dinamakan sudut keliling.

Perhatikan gambar disamping, ÐBPC merupakan sudut pusat, dan ÐBAC merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama (busur BC). Panjang AP = BP = CP, sehingga ∆APB dan ∆APC sama kaki serta berlaku ÐBAP = ÐABP dan ÐCAP = ÐACP. Karena jumlah sudut segitiga 180° maka pada ∆APB berlaku:
ÐBPA = 180° – 2ÐBAP dan ∆APC berlaku
ÐAPC = 180° – 2ÐCAP .

Sehingga :
ÐBPC = 360° – ÐBPA – ÐAPC
ÐBPC = 360° – (180° – 2ÐBAP) – (180⁰ – 2ÐCAP)
ÐBPC = 2(ÐBAP + CAP)
ÐBPC = 2ÐBAC

Jadi besar sudut pusat sama dengan dua kali besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

 

Dari sifat ini dapat diturunkan sifat bahwa sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama, akan selalu sama besar.
Sebagai bukti akan diperlihatkan pada gambar berikut :
Pada gambar lingkaran di samping,

berlaku :      ÐBPC = 2ÐBDC           … (1)

ÐBPC = 2ÐBAC           … (2)

Dari (1) dan (2) terbukti bahwa ÐBAC = ÐBDC.

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik.
Garis singgung ini tegak lurus jari-jari yang melalui titik singgungnya.

Selanjutnya akan diberikan contoh-contoh soal tentang lingkaran, yakni sebagai berikut :

 

1.    Diberikan sebuah lingkaran dan dua buah garis seperti pada gambar di samping. Buktikan bahwa AB . AC = AE . AD

 

Bukti

ÐBCE = ÐBDB menghadap busur BE
ÐCBD = ÐCED menghadap busur CD

Akibatnya ÐABD = ÐAEC sehingga ∆ABD sebangun dengan ∆AEC.

Dengan demikian berlaku :

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Bangun-Bangun Pada Geometri Bidang – 2. Please share...!