Operasi Aljabar Pada Fungsi

Selasa, 31 Oktober 2023

Jenis operasi aljabar sering dijumpai dalam himpunan bilangan riil, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan perpangkatan. Operasi aljabar pada bilangan riil dapat diterapkan pada aljabar fungsi, yaitu jika diketahui fungsi f(x) dan g(x), dan n bilangan rasional.

Untuk memahami operasi aljabar pada fungsi, coba Kalian amati masalah berikut. Seorang pengrajin miniatur menerima pesanan pembuatan miniatur dan asesoris tempat penyimpanannya. Harga untuk membuat miniatur saja (F₁) biayanya Rp.75.000,- per buah mengikuti fungsi F₁ (x) = 75.000x + 5000.
Jika akan membuat lengkap dengan asesoris tempat penyimpanannya, biaya tambahannya (F₂) Rp.25.000,- perbuah mengikuti fungsi F₂ (x) = 25.000x + 1000, dengan x banyaknya miniatur yang dibuat.

a.    Berapa biaya untuk membuat 10 buah miniature lengkap dengan asesoris penyimpanannya?

b.    Tentukan selisih biaya pembuatan miniature dengan asesoris penyimpanannya jika banyaknya miniature yang dibuat 5 buah.

Alternatif Penyelesaian:

Fungsi biaya pembuatan miniature: F₁(x) = 75.000x + 5.000
Fungsi biaya pembuatan asesoris F₂(x) = 25.000x + 1000.

a.     Biaya untuk membuat miniature lengkap dengan asesorisnya adalah:
F₁(x) + F₂(x) = (75.000x + 5.000) + (25.000x + 1000)
                      = 100.000x + 6.000
Total biaya untuk membuat 10 buah miniature lengkap dengan asesorisnya adalah:
F₁(10) + F₂(10) = 100.000.10 + 6.000

                                = 1.006.000.

Jadi total biaya untuk membuat 10 miniatur lengkap dengan asesorisnya adalah Rp. 1.006.000,-

Selisih biaya pembuatan miniature dengan asesorisnya adalah:
F₁(x) – F₂(x) = (75.000x + 5.000) - (25.000x + 1000)
                      = 50.000x + 4.000

Selisih biaya pembuatan 5 buah miniature dengan asesorisnya adalah :
F₁(5) – F₂(5) = 50.000.5 + 4 = 246.000

Jadi selisih biaya pembuatan 5 buah miniatur dengan asesorisnya adalah : Rp. 246.000,.

Operasi aljabar pada fungsi didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.6
Jika f suatu fungsi dengan daerah asal D_f dan g suatu fungsi dengan daerah asal D_g, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dinyatakan sebagai berikut.
Jumlah f dan g ditulis f + g didefinisikan sebagai (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal D_{f + g} = D_f Ç D_g.
Selisih f dan g ditulis f – g didefinisikan sebagai (f – g)(x) = f(x) – g(x) dengan daerah asal D_{f – g} = D_f Ç D_g.
Perkalian f dan g ditulis f × g didefinisikan sebagai (f × g)(x) = f(x) × g(x) dengan daerah asal D_{f × g} = D_f Ç D_g.

Pembagian f dan g ditulis  didefinisikan sebagai  dengan daerah asal[M1]  .

Contoh 1.7
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan . Tentukan nilai fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asalnya.

a.     (f + g) (x)

b.     (f – g) (x)

c.      (f × g) (x)

Alternatif Penyelesaian:
Daerah asal fungsi f (x) = 2x – 10 adalah D_f : {x | x Î R}
Daerah asal fungsi  adalah Dg : {x | x ³ ½, x Î R}

a.    Jumlah fungsi f (x) dan g (x) adalah:
(f + g) (x) = f (x)+ g (x) = 2x – 10 +
Daerah asal fungsi (f + g) (x) adalah:
D _{f + g} = D_f Ç D_g
          = {x | x Î R} Ç {x | x ³ ½, x Î R}
          = {x | x ³ ½, x Î R}

b.    Selisih fungsi f (x) dan g (x) adalah
(f – g) (x) = f (x) – g (x) = 2x – 10 –
Daerah asal fungsi (f – g) (x) adalah
D _{f – g} = D_f Ç D_g
          = {x | x Î R} Ç {x | x ³ ½, x Î R}
          = {x | x ³ ½, x Î R}

c.     Perkalian fungsi f (x) dan g (x) adalah:

Daerah asal fungsi (f x g) (x) adalah
D _{f × g} = D_f Ç D_g
          = {x | x Î R} Ç {x | x ³ ½, x Î R}
          = {x | x ³ ½, x Î R}

d.    Pembagian fungsi f (x) dengan g (x) adalah:

Daerah asal fungsi  adalah

B. Rangkuman

1.     Apabila A dan B himpunan, maka hubungan atau pemasangan anggota A dengan anggota B disebut relasi. Apabila antara anggota A dan anggota B tidak ada hubungan, maka himpunan A dan B tidak berelasi.

2.     Fungsi adalah relasi yang memetakan, memasangkan atau mengawankan setiap anggota di himpunan A dengan tepat satu anggota di himpunan B.

3.     Sebuah fungsi f dari himpunan A ke B, dapat dinyatakan dalam bentuk diagram, pasangan terurut atau dengan notasi fungsi f : A → B atau dengan rumus y = f(x), dimana x ∈ A dan y ∈ B. Himpunan A disebut pula dengan daerah asal (domain) dan B disebut daerah kawan (kodomain). Sedangkan daerah hasil fungsi (range) merupakan himpunan bagian dari B.

4.     Misalkan fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B dengan darah hasil R. Fungsi disebut fungsi surjektif (onto) apabila daerah hasil sama dengan daerah kawan (R = B), disebut fungsi injektif (into) apabila untuk setiap a ≠ b, maka f(a) ≠ f(b) dan disebut fungsi bijektif (satu ke satu) apabila fungsi tersebut injektif dan sekaligus surjektif

5.     Operasi Aljabar pada fungsi didefinisikan:

a.     Jumlah f dan g ditulis f + g didefinisikan sebagai (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal D_{f + g} = D_f ∩ D_g.

b.     Selisih f dan g ditulis f – g didefinisikan sebagai (f – g)(x) = f(x) – g(x) dengan daerah asal D_{f – g} = D_f ∩ D_g.

c.      Perkalian f dan g ditulis f × g didefinisikan sebagai (f × g)(x) = f(x) × g(x) dengan daerah asal D_{f × g} = D_f ∩ D_g.

d.     Pembagian f dan g ditulis 𝑓𝑔 didefinisikan sebagai dengan daerah asal .

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Operasi Aljabar Pada Fungsi. Please share...!