Setelah Kalian mempelajari contoh 1 dan 2, Kalian sudah mendapat gambaran tentang invers suatu fungsi. Sekarang kita kembangkan pemahaman Kalian dengan mempelajari fungsi invers. Apakah yang dimaksud dengan invers suatu fungsi sama dengan fungsi invers? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, Kalian perhatikan contoh berikut.
Fungsi f:
A → π΅ dengan π = {(π₯,
π¦) | π¦ = π(π₯), π₯ ∈ π΄ dan π¦
∈ π΅} didefinisikan dengan y = f(x) = 2x. Jika
daerah asal (domain) Df = {…, –2, –1, 0, 1, 2…}, maka daerah
hasilnya (Range) adalah: f(–2) = 2.( –2) = –4, f(–1) = 2.( –1) = –2,
f(0) = 2.0 = 0, f(1) = 2.1 = 2, f(2) = 2.2 = 4, sehingga Range
Rf = {…, –4, –2, 0, 2, 4, …}. Pasangan berurut dari fungsi f
adalah f : {…, (–2, –4), (–1, –2), (0, 0), (1, 2), (2, 4),…}.
Inver dari
fungsi f adalah f -1: B → A. Dari pasangan berurut
fungsi f kita dapatkan daerah asal invers fungsi f, yaitu Df -1 = {…, –4, –2, 0,
2, 4, …}.
Daerah hasi π
π-1 = {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}.
Pasangan berurut invers fungsi f adalah f-1 : {…, (–4, –2), (–2, –1),
(0, 0), (2, 1), (4, 2),…}.
Coba Kalian
amati pasangan berurut di atas, bahwa setiap dua unsur yang berbeda di dalam
domain f dikawankan dengan dua unsur yang berbeda di dalam daerah kawan (kodomain)
f. Sebagai contoh, π₯1 = –2 dan π₯2 = 2 dikawankan berturut turut dengan π¦1 = –4 dan π¦2 = 4. Invers dari fungsi ini akan menghubungkan dua
unsur yang berbeda tersebut dengan dua unsur semula yang berbeda, yaitu –4
dengan –2 dan 4 dengan 2. Ini berarti relasi pada invers fungsi f merupakan
relasi satu-satu, setiap unsur di dalam daerah asalnya dihubungkan dengan satu
dan hanya satu unsur di dalam daerah hasil. Invers dari fungsi f memenuhi
syarat sebagai sebuah fungsi, jadi f -1disebut fungsi invers.
Sekarang
Kalian amati fungsi g: C → D dengan π
= {(π₯, π¦) | π¦
= π(π₯), π₯
∈ πΆ dan π¦
∈ π·} didefinisikan dengan y = g(x)
= x2. Jika daerah asal (domain) Df = {…, –2, –1,
0, 1, 2…}, maka daerah hasilnya (Range) adalah:
π(–2) = (–2)2 = 4, π(–1) = (–1)2 = 1, π(0) = 02 = 0, π(1) = 12 = 1, π(2) = 22 = 4 Pasangan berurut fungsi g={…(–2,
4), (–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)…}. Pasangan berurut invers dari fungsi g
adalah g-1
= {…,(4, -2), (1, -1), (0, 0), (1, 1), (4, 2)}.
Kalau Kalian
mengamati, Kalian bisa melihat bahwa ada unsur x di dalam domain g dikawankan
dengan unsur y yang sama di dalam daerah kawan g. Contohnya,
unsur 2 dan –2 keduanya dipetakan ke unsur yang sama, yaitu 4. Akibatnya,
invers dari fungsi ini menghubungkan 4 dengan dua unsur yang berbeda, yaitu 2
dan –2.
g(–2) = 4, g(2) = 4 dan g-1(4) = –2, g-1(4) = 2. Invers dari fungsi
ini tidak sesuai dengan aturan fungsi. Jadi, invers dari fungsi g(x)
= x2 bukan merupakan fungsi, tetapi hanya relasi saja. g-1
disebut invers dari fungsi g.
Dari contoh
di atas dapat disimpulkan bahwa invers atau kebalikan dari fungsi, tidak selalu
menghasilkan fungsi. Jika invers dari suatu fungsi merupakan fungsi juga, maka invers
tersebut dinamakan fungsi invers. Syarat agar invers suatu fungsi merupakan fungsi
invers jika dan hanya jika f suatu fungsi bijektif (korespondensi
satu-satu).
Sifat 1:
Suatu fungsi f : A → B dikatakan memiliki
fungsi invers f -1: B
→ A jika dan
hanya jika fungsi f merupakan fungsi bijektif.
Dari Sifat 1
di atas, pada fungsi bijektif f : A → B,
A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasil fungsi f.
Secara umum, definisi fungsi invers diberikan sebagai berikut :
Definisi:
Jika fungsi f : Df → Rf
adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi yang didefinisikan
sebagai f -1: Rf → Df dengan
kata lain f -1 adalah fungsi dari Rf ke Df.
Df adalah daerah asal fungsi f dan Rf adalah
daerah hasil fungsi f
Fungsi f:
Df →Rf adalah fungsi bijektif,
jika y ∈ Rf merupakan peta dari x ∈ Df, maka hubungan antara y dengan f(x)
didefinisikan dengan y = f(x). Jika f -1
adalah fungsi invers dari fungsi f, maka untuk setiap x ∈ Rf -1 adalah peta dari y∈Df-1.
Hubungan
antara x dengan f -1(y) didefinisikan dengan
rumus x = f -1(y)
Sumber
Thanks for reading Fungsi Invers. Please share...!
