Penerapan Induksi Matematika pada Keterbagian

Selasa, 30 Januari 2024

 

2.     Penerapan Induksi Matematika pada Keterbagian

Sebelum kita mengkaji lebih jauh tentang penerapan induksi matematika pada keterbagian, perlu ditegaskan makna keterbagian dalam hal ini, yaitu habis dibagi bukan hanya dapat dibagi.

Pernyataan "a habis dibagi b" bersinonim dengan:

·        a kelipatan b

·        b faktor dari a

·        b membagi a

Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) juga habis dibagi a.

Sebagai contoh, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga habis dibagi 2.

Contoh 4.

Buktikan bahwa 7^𝑛 – 1 habis dibagi 6, untuk sebarang bilangan asli n.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan P(n) adalah pernyataan 7𝑛 - 1 habis dibagi 6.

Langkah dasar.
P(1) benar karena 7^𝑛 – 1 = 7¹ – 1 = 7 – 1 = 6 habis dibagi 6.
Langkah dasar selesai.

Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan mengasumsikan bahwa (7^k – 1) habis dibagi 6 untuk sebarang bilangan asli k. Sehingga P(k) dapat dinyatakan sebagai 7^k – 1 = 6c untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa 𝑃(𝑘) benar, maka 𝑃(𝑘 + 1), yaitu pernyataan bahwa 7^{𝑘 + 1} – 1 habis dibagi 6, juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 7^{𝑘 + 1} – 1 habis dibagi 6.
Perhatikan bahwa

7^{k + 1} – 1 = 7^k (7) − 1

             = 7^k (6 + 1) − 1

             = 6.7^k + 7^k − 1

             = 6.7^k + 6c

             = 6(7^k + c)

Jelas bahwa ruas kanan 6(7^{k + c}) merupakan kelipatan 6. Jadi P(k + 1) benar.

Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 7^𝑛 – 1 habis dibagi 6 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Contoh 5.

Buktikan bahwa 2 adalah faktor dari 𝑛² + 5𝑛 untuk sebarang bilangan asli n.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk sebarang bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan 2 adalah
faktor dari 𝑛² + 5𝑛.

Langkah dasar.
(1) benar karena 𝑛² + 5𝑛 = 12 + 5 ∙ 1 = 6 = 2 ∙ 3.
Sehingga 2 adalah faktor dari 𝑛² + 5𝑛 untuk 𝑛 = 1.
Langkah dasar selesai.

Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan mengasumsikan bahwa 2 adalah faktor dari 𝑘² + 5𝑘 atau ekuivalen dengan 𝑘² + 5𝑘 = 2𝑐 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k) benar, maka P(k + 1), yaitu pernyataan bahwa 2 adalah faktor dari (𝑘 + 1)² + 5(𝑘 + 1), juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 2 adalah faktor dari (𝑘 + 1)² + 5(𝑘 + 1).
Perhatikan bahwa
(𝑘 + 1)² + 5(𝑘 + 1) = 𝑘² + 2𝑘 + 1 + 5𝑘 + 5
                               = (𝑘² + 5𝑘) + (2𝑘 + 6)
                               = (𝑘² + 5𝑘) + 2(𝑘 + 3)
                               = 2𝑐 + 2(𝑘 + 3)
                               = 2(𝑐 + 𝑘 + 3)

Dari baris terakhir, karena bentuk (𝑐 + 𝑘 + 3) adalah bilangan bulat, maka jelas bahwa 2 adalah faktor dari (𝑘 + 1)² + 5(𝑘 + 1). Jadi P(k + 1) benar.
Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 2 adalah faktor dari 𝑛² + 5𝑛 untuk sebarang bilangan asli n.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Penerapan Induksi Matematika pada Keterbagian. Please share...!