3. Penerapan Induksi Matematika pada
Ketidaksamaan
Sebelum kita mengkaji lebih jauh tentang penerapan induksi matematika pada ketidaksamaan, kita perlu memperhatikan sifat-sifat ketidaksamaan yang sering digunakan berikut ini.
· Sifat
transitif
a > b > c ⇒ a > c atau
a < b < c ⇒ a < c
· a
< b dan c > 0 ⇒ ac < bc atau
a > b dan c > 0 ⇒ ac > bc
· a
< b ⇒ a + c < b + c atau
a > b ⇒ a + c > b + c
Contoh 6.
Gunakan
induksi matematika untuk membuktikan bahwa 2π < (π!)
untuk sebarang bilangan asli π, dengan π ≥ 4.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan π(π) adalah pernyataan bahwa 2π < (π!). Perhatikan bahwa ketaksamaan salah untuk π = 1, 2, dan 3.
Langkah
dasar
Untuk membuktikan
bahwa ketaksamaan benar untuk π ≥ 4 mensyaratkan bahwa langkah dasar
adalah π(4). Perhatikan bahwa π(4)
benar karena 24 = 16 < 24 = 4!.
Langkah dasar selesai.
Langkah
induktif
Asumsikan π(π) benar untuk sebarang bilangan asli π dengan π ≥ 4, yaitu asumsikan bahwa 2π < (π!) untuk sebarang bilangan asli π dengan π ≥ 4. Pada hipotesis induktif harus
ditunjukkan bahwa π(π + 1) juga benar. Dalam hal ini harus
ditunjukkan jika 2π < (π!)
benar untuk sebarang bilangan asli π dengan k ³ 4, maka 2π+1 < (π + 1)! juga benar.
Diperoleh:
2π
+ 1 = 2 ∙ 2π
= 2π
+ 1
= (π + 1)π!
=
(π + 1)!
Telah
ditunjukkan bahwa π(π + 1) benar jika π(π) benar. Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut
prinsip induksi matematika π(π) benar untuk sebarang bilangan asli π dengan π ≥ 4. Dengan demikian terbukti bahwa 2π < (π!) benar untuk sebarang bilangan asli
π dengan n ³ 4.
Contoh 7.
Gunakan
induksi matematika untuk membuktikan bahwa ketaksamaan π < 2π untuk sebarang bilangan asli n.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan π(π) adalah pernyataan bahwa π < 2π.
Langkah
dasar.
π(1) benar, karena 1 < 21 = 2. Langkah dasar
selesai.
Langkah
induktif.
Asumsikan hipotesis
induktif bahwa π(π) benar untuk sebarang bilangan asli k.
Sehingga hipotesis induktif π(π) adalah pernyataan bahwa π < 2π. Untuk menyelesaikan hipotesis
induktif, harus ditunjukkan bahwa jika π(π) benar, maka π(π + 1), yaitu pernyataan bahwa π + 1 < 2π+1, juga benar. Dalam hal ini, kita tunjukkan bahwa jika π < 2π,
maka π + 1 < 2π+1.
Untuk
menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk sebarang bilangan asli k, tambahkan 1 ke dalam kedua ruas dari π < 2π.
Perhatikan bahwa 1 ≤ 2π.
Hal ini menyebabkan π + 1 < 2π + 1 ≤ 2π + 2π
= 2 ∙ 2π = 2π+1.
Hal tersebut menunjukkan bahwa π(π + 1) benar, yaitu π + 1 < 2π+1, berdasarkan asumsi bahwa π(π) benar. Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut
prinsip induksi matematika kita telah menunjukkan bahwa π < 2π benar untuk sebarang bilangan asli π.
Sumber
Thanks for reading Penerapan Induksi Matematika pada Ketidaksamaan. Please share...!
