3. Penerapan Induksi Matematika pada
Ketidaksamaan
Sebelum kita mengkaji lebih jauh tentang penerapan induksi matematika pada ketidaksamaan, kita perlu memperhatikan sifat-sifat ketidaksamaan yang sering digunakan berikut ini.
· Sifat
transitif
a > b > c ⇒ a > c atau
a < b < c ⇒ a < c
· a
< b dan c > 0 ⇒ ac < bc atau
a > b dan c > 0 ⇒ ac > bc
· a
< b ⇒ a + c < b + c atau
a > b ⇒ a + c > b + c
Contoh 6.
Gunakan
induksi matematika untuk membuktikan bahwa 2𝑛 < (𝑛!)
untuk sebarang bilangan asli 𝑛, dengan 𝑛 ≥ 4.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa 2𝑛 < (𝑛!). Perhatikan bahwa ketaksamaan salah untuk 𝑛 = 1, 2, dan 3.
Langkah
dasar
Untuk membuktikan
bahwa ketaksamaan benar untuk 𝑛 ≥ 4 mensyaratkan bahwa langkah dasar
adalah 𝑃(4). Perhatikan bahwa 𝑃(4)
benar karena 24 = 16 < 24 = 4!.
Langkah dasar selesai.
Langkah
induktif
Asumsikan 𝑃(𝑘) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 4, yaitu asumsikan bahwa 2𝑘 < (𝑘!) untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 4. Pada hipotesis induktif harus
ditunjukkan bahwa 𝑃(𝑘 + 1) juga benar. Dalam hal ini harus
ditunjukkan jika 2𝑘 < (𝑘!)
benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan k ³ 4, maka 2𝑘+1 < (𝑘 + 1)! juga benar.
Diperoleh:
2𝑘
+ 1 = 2 ∙ 2𝑘
= 2𝑘
+ 1
= (𝑘 + 1)𝑘!
=
(𝑘 + 1)!
Telah
ditunjukkan bahwa 𝑃(𝑘 + 1) benar jika 𝑃(𝑘) benar. Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut
prinsip induksi matematika 𝑃(𝑛) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 4. Dengan demikian terbukti bahwa 2𝑛 < (𝑛!) benar untuk sebarang bilangan asli
𝑛 dengan n ³ 4.
Contoh 7.
Gunakan
induksi matematika untuk membuktikan bahwa ketaksamaan 𝑛 < 2𝑛 untuk sebarang bilangan asli n.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa 𝑛 < 2𝑛.
Langkah
dasar.
𝑃(1) benar, karena 1 < 21 = 2. Langkah dasar
selesai.
Langkah
induktif.
Asumsikan hipotesis
induktif bahwa 𝑃(𝑘) benar untuk sebarang bilangan asli k.
Sehingga hipotesis induktif 𝑃(𝑘) adalah pernyataan bahwa 𝑘 < 2𝑘. Untuk menyelesaikan hipotesis
induktif, harus ditunjukkan bahwa jika 𝑃(𝑘) benar, maka 𝑃(𝑘 + 1), yaitu pernyataan bahwa 𝑘 + 1 < 2𝑘+1, juga benar. Dalam hal ini, kita tunjukkan bahwa jika 𝑘 < 2𝑘,
maka 𝑘 + 1 < 2𝑘+1.
Untuk
menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk sebarang bilangan asli k, tambahkan 1 ke dalam kedua ruas dari 𝑘 < 2𝑘.
Perhatikan bahwa 1 ≤ 2𝑘.
Hal ini menyebabkan 𝑘 + 1 < 2𝑘 + 1 ≤ 2𝑘 + 2𝑘
= 2 ∙ 2𝑘 = 2𝑘+1.
Hal tersebut menunjukkan bahwa 𝑃(𝑘 + 1) benar, yaitu 𝑘 + 1 < 2𝑘+1, berdasarkan asumsi bahwa 𝑃(𝑘) benar. Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut
prinsip induksi matematika kita telah menunjukkan bahwa 𝑛 < 2𝑛 benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛.
Sumber
Thanks for reading Penerapan Induksi Matematika pada Ketidaksamaan. Please share...!
