Kegiatan Pembelajaran 2: Penerapan Induksi Matematika

Senin, 29 Januari 2024

A.   Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 2 ini diharapkan kalian dapat menggunakan induksi matematika untuk membuktikan pernyataan matematis berupa rumus jumlah barisan (deret), keterbagian, dan ketidaksamaan.

B.   Uraian Materi

Dalam penerapannya, prinsip induksi matematika dapat digunakan untuk membuktikan rumus jumlah barisan (deret), ketidaksamaan, dan keterbagian bilangan bulat.

1.     Penerapan Induksi Matematika pada Rumus Jumlah Barisan (Deret)

Sebelum melakukan pembuktian jumlah barisan (deret), ada beberapa hal yang perlu kalian pahami terkait deret bilangan, yaitu:
Jika   P(n) = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n = S_n , maka:
          P(1) = u₁ = S₁
          P(k) = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_k = S_k
          P(k + 1) = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_k + u_k+1 = S_k+1

Contoh 1.
Gunakan induksi matematis untuk membuktikan bahwa rumus jumlah berhingga dari deret aritmetika dengan suku pertama a dan beda b adalah:

dengan n adalah bilangan asli.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 

Langkah dasar:
Untuk n = 1, P(1) benar, karena:

Langkah dasar selesai.

Langkah Induktif:
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:

Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar:

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai). Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika peryataan:

benar untuk setiap n bilangan asli.

Contoh 2.

Gunakan induksi matematis untuk membuktikan bahwa rumus jumlah berhingga dari deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:

Dengan r > 1 dan n adalah bilangan asli.
Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 

Langkah dasar:
Untuk n = 1, P(1) benar, karena:

Langkah dasar selesai.

Langkah Induktif:
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:

Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar:

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika peryataan:

benar untuk setiap n bilangan asli.

Contoh 3.

Untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 1, buktikan bahwa:

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa:

Langkah dasar.
𝑃(1) benar, karena 
Langkah dasar selesai.

Langkah induktif.
Asumsikan hipotesis induktif bahwa 𝑃(𝑘) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘.
Sehingga hipotesis induktif 𝑃(𝑘) adalah pernyataan bahwa:

benar.
Untuk menyelesaikan hipotesis induktif, harus ditunjukkan bahwa jika 𝑃(𝑘) benar, maka 𝑃(𝑘 + 1) juga benar.
Perhatikan bahwa:

Dengan demikian hal tersebut menunjukkan bahwa 𝑃(𝑘 + 1) benar berdasarkan asumsi bahwa 𝑃(𝑘) benar. Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika kita telah menunjukkan bahwa

untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 1.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 2: Penerapan Induksi Matematika. Please share...!