Evaluasi Induksi Matematika - 1

Selasa, 06 Februari 2024

Gunakan induksi matematis untuk membuktikan kebenaran pernyataan berikut.

 

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa:

Langkah dasar.
𝑃(1) benar, karena 

Langkah dasar selesai.
Langkah induktif.
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:

Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar:

ekuivalen dengan:

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).

Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika kita telah menunjukkan bahwa   untuk sebarang bilangan asli n.

 

5.     𝑛³ – 𝑛 + 3 habis dibagi 3 untuk sebarang bilangan asli n.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk sebarang bilangan asli n, misalkan P(n) adalah pernyataan 3 adalah factor dari 𝑛³ – 𝑛 + 3.
Langkah dasar.
𝑃(1) benar karena 𝑛³ – 𝑛 + 3 = 13 – 1 + 3 = 3 = 3 ∙ 1.
Sehingga 3 adalah faktor dari 𝑛³ – 𝑛 + 3 untuk 𝑛 = 1.
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan mengasumsikan bahwa 3 adalah faktor dari 𝑘³ – 𝑘 + 3 atau ekuivalen dengan 𝑘³ – 𝑘 + 3 = 3𝑐 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k) benar, maka P(k + 1), yaitu pernyataan bahwa 3 adalah faktor dari (𝑘 + 1)³ – (𝑘 + 1) + 3, juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari (𝑘 + 1)³ – (𝑘 + 1) + 3.
Perhatikan bahwa:
(𝑘 + 1)³ – (𝑘 + 1) + 3 = 𝑘³ + 3k² + 3k + 1 – k – 1 – 3

                                 = (𝑘³ – k + 3) + 3k² + 3k

                                 = (𝑘³ – k + 3) + 3(k² + k)
                                 = 3c + 3(k² + k)
                                 = 3(c + k² + k)

Dari baris terakhir, karena bentuk (𝑐 + 𝑘² + 𝑘) adalah bilangan bulat, maka jelas bahwa 3 adalah faktor dari (𝑘 + 1)³ – (𝑘 + 1) + 3. Jadi P(k + 1) benar.
Langkah induktif selesai.

Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 𝑛³ – 𝑛 + 3 habis dibagi 3 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

 

6.     8^𝑛 – 3^𝑛 habis dibagi 5 untuk sebarang bilangan asli n.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk sebarang bilangan asli n, misalkan P(n) adalah pernyataan 5 adalah factor dari 8^𝑛 – 3^𝑛.
Langkah dasar.
𝑃(1) benar karena 8¹ – 3¹ = 5 = 5 ∙ 1.
Sehingga 5 adalah faktor dari 8𝑛 – 3𝑛 untuk 𝑛 = 1.
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan mengasumsikan bahwa 5 adalah faktor dari 8^𝑘 – 3^𝑘 atau ekuivalen dengan 8^𝑘 – 3^𝑘 = 5𝑐 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k) benar, maka P(k + 1), yaitu pernyataan bahwa 5 adalah faktor 8^{𝑘 + 1} – 3^{𝑘 + 1}, juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 5 adalah faktor dari 8^{𝑘 + 1} – 3^{𝑘 + 1}.

Perhatikan bahwa:
8^{𝑘 + 1} – 3^{𝑘 + 1} = 8.8^𝑘 – 3.3^𝑘

                  = 3.8^𝑘 – 3.3^𝑘 + 5.8^k
                  = 3(8^𝑘 – 3^𝑘) + 5.8^k
                  = 3(5c) + 5.8^k
                  = 5(3c + 8^k)

Dari baris terakhir, karena bentuk (3𝑐 + 8𝑘) adalah bilangan bulat, maka jelas bahwa 5 adalah faktor dari 8^𝑘+1 – 3^𝑘+1. Jadi P(k + 1) benar.
Langkah induktif selesai.

Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 8^𝑛 – 3^𝑛 habis dibagi 5 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

 

7.     𝑛³ – 𝑛 habis dibagi 6 untuk sebarang bilangan asli n.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk sebarang bilangan asli n, misalkan P(n) adalah pernyataan 6 adalah factor dari 𝑛³ – 𝑛.
Langkah dasar.
𝑃(1) benar karena 𝑛³ – 𝑛 = 13 - 1 = 0 = 6 ∙ 0.
Sehingga 6 adalah faktor dari 𝑛³ – 𝑛 untuk 𝑛 = 1.
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan mengasumsikan bahwa 6 adalah faktor dari 𝑘³ – 𝑘 atau ekuivalen dengan 𝑘³ – 𝑘 = 6𝑐 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k) benar, maka P(k + 1), yaitu pernyataan bahwa 6 adalah faktor dari (𝑘 + 1)³ –
(𝑘 + 1), juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 6 adalah faktor dari (𝑘 + 1)³ –
(𝑘 + 1).
Perhatikan bahwa
(𝑘 + 1)³ – (𝑘 + 1).= 𝑘³ + 3𝑘² + 3𝑘 + 1 – 𝑘 – 1
                           = (𝑘³ – 𝑘) + (3𝑘² + 3𝑘)
                          = (𝑘³ – 𝑘) + 3𝑘(𝑘 + 1)
                          = 6𝑐 + 3𝑘(𝑘 + 1)

Baris terakhir terdiri dari dua suku. Suku pertama 6c habis dibagi 6. Suku kedua 3k(k + 1) juga habis dibagi 6, karena mengandung faktor 3 dan salah satu di antara k atau (k + 1) merupakan bilangan genap sehingga mengandung faktor 2. Oleh karena kedua sukunya habis dibagi 6, berarti 6 adalah faktor dari (6c + 3k(k + 1)).
Jadi P(k + 1) benar.
Langkah induktif selesai.

Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 𝑛³ – 𝑛 habis dibagi 6 untuk sebarang bilangan asli n.

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Evaluasi Induksi Matematika - 1. Please share...!