Evaluasi Induksi Matematika - 2

Rabu, 07 Februari 2024

Gunakan induksi matematis untuk membuktikan kebenaran pernyataan berikut.

8.     2𝑛² > (𝑛 + 1)² untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 3.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa 2𝑛² > (𝑛 + 1)². Perhatikan bahwa ketaksamaan salah untuk n = 1 dan 2.
Langkah dasar
Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk 𝑛 ≥ 3 mensyaratkan bahwa langkah dasar adalah 𝑃(3).
Perhatikan bahwa 𝑃(3) benar karena 2(3)² = 18 > (3 + 1)² = 16. Langkah dasar selesai.
Langkah induktif
Asumsikan 𝑃(𝑘) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 3, yaitu asumsikan bahwa 2𝑘² > (𝑘 + 1)² untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 3.
Pada hipotesis induktif harus ditunjukkan bahwa 𝑃(𝑘 + 1) juga benar. Dalam hal ini harus ditunjukkan jika 2𝑘² > (𝑘 + 1)² benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan k ³ 3, maka 2(𝑘 + 1)² > ((𝑘 + 1) + 1)² = (𝑘 + 2)² juga benar.

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:
2(𝑘 + 1)² = 2(𝑘² + 2𝑘 + 1)
              = 2𝑘² + 4𝑘 + 2

              = (𝑘 + 1)² + 4𝑘 + 2         karena 2𝑘² > (𝑘 + 1)²
              = (𝑘 + 1)² + 2𝑘 + 3         karena 4𝑘 + 2 > 2𝑘 + 3, 𝑘 ≥ 1
              = 𝑘² + 4𝑘 + 4
              = (𝑘 + 2)²

 

Telah ditunjukkan bahwa 𝑃(𝑘 + 1) benar jika 𝑃(𝑘) benar. Langkah induktif selesai.

Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut prinsip induksi matematika 𝑃(𝑛) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3. Dengan demikian terbukti bahwa 2𝑛² > (𝑛 + 1)² untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 3.

 

9.     2𝑛 < (𝑛 + 1)! untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 2.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa 2𝑛 < (𝑛 + 1)!. Perhatikan bahwa ketaksamaan salah untuk 𝑛 = 1
Langkah dasar
Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk 𝑛 ≥ 2 mensyaratkan bahwa langkah dasar adalah 𝑃(2).
Perhatikan bahwa 𝑃(2) benar karena 2² = 4 < (2 + 1)! = 3! = 6. Langkah dasar selesai.
Langkah induktif
Asumsikan 𝑃(𝑘) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 2, yaitu
asumsikan bahwa 2^𝑘 < (𝑘 + 1)! untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 2. Pada hipotesis induktif harus ditunjukkan bahwa 𝑃(𝑘 + 1) juga benar. Dalam hal ini harus ditunjukkan jika 2^𝑘 < (𝑘 + 1)! benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan k ³ 2, maka 2^𝑘 + 1 < ((𝑘 + 1) + 1)! juga benar.
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:
2^𝑘 + 1 = 2𝑘. 2

          = (𝑘 + 1)! .2              karena 2^𝑘 < (𝑘 + 1)!
          = (𝑘 + 1)!. (𝑘 + 2)      karena 2 < (𝑘 + 2), 𝑘 ≥ 1
          = (𝑘 + 2)!
          = ((𝑘 + 1) + 1)!

 

Telah ditunjukkan bahwa 𝑃(𝑘 + 1) benar jika 𝑃(𝑘) benar. Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut prinsip induksi matematika 𝑃(𝑛) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 2. Dengan demikian terbukti bahwa 2^𝑛 < (𝑛 + 1)! untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 2.

Alternatif Penyelesaian:

Langkah dasar
Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk 𝑛 ≥ 2 mensyaratkan bahwa langkah dasar adalah 𝑃(2).
Perhatikan bahwa 𝑃(2) benar karena . Langkah dasar selesai.
Langkah induktif

Asumsikan 𝑃(𝑘) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 2, yaitu asumsikan bahwa:

untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 2.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar dengan
menggunakan hipotesis induktif di atas. P(k + 1) menyatakan:

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh

Telah ditunjukkan bahwa 𝑃(𝑘 + 1) benar jika 𝑃(𝑘) benar. Langkah induktif selesai.

Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut
prinsip induksi matematika 𝑃(𝑛) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 2. Dengan demikian terbukti bahwa  untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 2.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Evaluasi Induksi Matematika - 2. Please share...!