Situs gratis pertama yang direkomendasikan untuk membuat blog adalah Situs gratis pertama yang direkomendasikan untuk membuat blog adalah Blogger.
» » Evaluasi Induksi Matematika - 2

Evaluasi Induksi Matematika - 2

Gunakan induksi matematis untuk membuktikan kebenaran pernyataan berikut.


8.     2𝑛2 > (𝑛 + 1)2 untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 3.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa 2𝑛2 > (𝑛 + 1)2. Perhatikan bahwa ketaksamaan salah untuk n = 1 dan 2.
Langkah dasar
Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk 𝑛 ≥ 3 mensyaratkan bahwa langkah dasar adalah 𝑃(3).
Perhatikan bahwa 𝑃(3) benar karena 2(3)2 = 18 > (3 + 1)2 = 16. Langkah dasar selesai.
Langkah induktif
Asumsikan 𝑃(π‘˜) benar untuk sebarang bilangan asli π‘˜ dengan π‘˜ ≥ 3, yaitu asumsikan bahwa 2π‘˜2 > (π‘˜ + 1)2 untuk sebarang bilangan asli π‘˜ dengan π‘˜ ≥ 3.
Pada hipotesis induktif harus ditunjukkan bahwa 𝑃(π‘˜ + 1) juga benar. Dalam hal ini harus ditunjukkan jika 2π‘˜2 > (π‘˜ + 1)2 benar untuk sebarang bilangan asli π‘˜ dengan k ³ 3, maka 2(π‘˜ + 1)2 > ((π‘˜ + 1) + 1)2 = (π‘˜ + 2)2 juga benar.

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:
2(π‘˜ + 1)2 = 2(π‘˜2 + 2π‘˜ + 1)
              = 2π‘˜2 + 4π‘˜ + 2

              = (π‘˜ + 1)2 + 4π‘˜ + 2         karena 2π‘˜2 > (π‘˜ + 1)2
              = (π‘˜ + 1)2 + 2π‘˜ + 3         karena 4π‘˜ + 2 > 2π‘˜ + 3, π‘˜ ≥ 1
              = π‘˜2 + 4π‘˜ + 4
              = (π‘˜ + 2)2

 

Telah ditunjukkan bahwa 𝑃(π‘˜ + 1) benar jika 𝑃(π‘˜) benar. Langkah induktif selesai.

Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut prinsip induksi matematika 𝑃(𝑛) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3. Dengan demikian terbukti bahwa 2𝑛2 > (𝑛 + 1)2 untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 3.

 

9.     2𝑛 < (𝑛 + 1)! untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 2.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa 2𝑛 < (𝑛 + 1)!. Perhatikan bahwa ketaksamaan salah untuk 𝑛 = 1
Langkah dasar
Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk 𝑛 ≥ 2 mensyaratkan bahwa langkah dasar adalah 𝑃(2).
Perhatikan bahwa 𝑃(2) benar karena 22 = 4 < (2 + 1)! = 3! = 6. Langkah dasar selesai.
Langkah induktif
Asumsikan 𝑃(π‘˜) benar untuk sebarang bilangan asli π‘˜ dengan π‘˜ ≥ 2, yaitu
asumsikan bahwa 2π‘˜ < (π‘˜ + 1)! untuk sebarang bilangan asli π‘˜ dengan π‘˜ ≥ 2. Pada hipotesis induktif harus ditunjukkan bahwa 𝑃(π‘˜ + 1) juga benar. Dalam hal ini harus ditunjukkan jika 2π‘˜ < (π‘˜ + 1)! benar untuk sebarang bilangan asli π‘˜ dengan k ³ 2, maka 2π‘˜ + 1 < ((π‘˜ + 1) + 1)! juga benar.
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:
2π‘˜ + 1 = 2π‘˜. 2

          = (π‘˜ + 1)! .2              karena 2π‘˜ < (π‘˜ + 1)!
          = (π‘˜ + 1)!. (π‘˜ + 2)      karena 2 < (π‘˜ + 2), π‘˜ ≥ 1
          = (π‘˜ + 2)!
          = ((π‘˜ + 1) + 1)!

 

Telah ditunjukkan bahwa 𝑃(π‘˜ + 1) benar jika 𝑃(π‘˜) benar. Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut prinsip induksi matematika 𝑃(𝑛) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 2. Dengan demikian terbukti bahwa 2𝑛 < (𝑛 + 1)! untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 2.

Alternatif Penyelesaian:

Langkah dasar
Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk 𝑛 ≥ 2 mensyaratkan bahwa langkah dasar adalah 𝑃(2).
Perhatikan bahwa 𝑃(2) benar karena . Langkah dasar selesai.
Langkah induktif

Asumsikan 𝑃(π‘˜) benar untuk sebarang bilangan asli π‘˜ dengan π‘˜ ≥ 2, yaitu asumsikan bahwa:

untuk sebarang bilangan asli π‘˜ dengan π‘˜ ≥ 2.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar dengan
menggunakan hipotesis induktif di atas. P(k + 1) menyatakan:

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh

Telah ditunjukkan bahwa 𝑃(π‘˜ + 1) benar jika 𝑃(π‘˜) benar. Langkah induktif selesai.

Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut
prinsip induksi matematika 𝑃(𝑛) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 2. Dengan demikian terbukti bahwa  untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 2.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Evaluasi Induksi Matematika - 2. Please share...!

Back To Top