Evaluasi Induksi Matematika

Senin, 05 Februari 2024

Gunakan induksi matematis untuk membuktikan kebenaran pernyataan berikut.

1.     2 + 6 + 18 + ⋯ + 2 ∙ 3^n - 1 = 3ⁿ – 1 untuk sebarang bilangan asli n.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa
𝑃(𝑛) = 2 + 6 + 18 + ⋯ + 2 ∙ 3^n - 1 = 3ⁿ  – 1
Langkah dasar.
𝑃(1) benar, karena 3¹ – 1 = 3 – 1 = 2
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif.
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:
𝑃(𝑘) = 2 + 6 + 18 + ⋯ + 2 ∙ 3^k - 1 = 3^k – 1
Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika kita telah menunjukkan bahwa 2 + 6 + 18 + ⋯ + 2 ∙ 3𝑛 – 1 = 3𝑛 – 1 untuk sebarang bilangan asli n.

 

2.     1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 2² + ⋯ + 𝑛 ∙ 2𝑛 – 1 = 1 + (𝑛 – 1) ∙ 2𝑛 untuk sebarang bilangan asli n.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa:
𝑃(𝑛) = 1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 2² + ⋯ + 𝑛 ∙ 2^{𝑛 – 1} = 1 + (𝑛 – 1) ∙  2𝑛
Langkah dasar.
𝑃(1) benar, karena 1 + (1 - 1). 2¹ = 1 + 0 = 1
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif.
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:
𝑃(𝑘) = 1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 2² + ⋯ + 𝑘 ∙ 2^{𝑘 – 1} = 1 + (𝑘 – 1) ∙ 2𝑘
Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika kita telah menunjukkan bahwa 1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 2² + ⋯ + 𝑛 ∙ 2^{𝑛 – 1} = 1 + (𝑛 – 1) ∙ 2𝑛 untuk sebarang bilangan asli n.

 

3.     3 + 3² + 3³ + ⋯ + 3^𝑛 = ³/₂ (3^𝑛 – 1) untuk sebarang bilangan asli n.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa
𝑃(𝑛) = 3 + 3² + 3³ + ⋯ + 3^𝑛 = ³/₂ (3^𝑛 – 1)
Langkah dasar.
𝑃(1) benar, karena 
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif.
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:
𝑃(𝑘) = 3 + 3² + 3³ + ⋯ + 3^𝑘 = ³/₂ (3^𝑘 – 1)
Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar:
𝑃(𝑘 + 1) = 3 + 3² + 3³ + ⋯ + 3^𝑘 + 3^{𝑘 + 1}  = ³/₂ (3^{𝑘 + 1}  – 1)
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika kita telah menunjukkan bahwa 3 + 3² + 3³ + ⋯ + 3^𝑛 = ³/₂ (3^𝑛 – 1) untuk sebarang bilangan asli n.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Evaluasi Induksi Matematika. Please share...!