Latihan Penerapan Induksi Matematika - 2

Minggu, 04 Februari 2024

Gunakan induksi matematis untuk membuktikan kebenaran pernyataan berikut.

8.     (𝑛 + 1)² < 2𝑛² untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 3.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan (𝑛) adalah pernyataan bahwa (𝑛 + 1)² < 2𝑛². Perhatikan bahwa ketaksamaan salah untuk 𝑛 = 1 dan 2

Langkah dasar
Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk 𝑛 ≥ 3 mensyaratkan bahwa langkah dasar adalah (3).
Perhatikan bahwa (3) benar karena (3 + 1)² = 4² = 16 < 2(32) = 2(9) = 18. Langkah dasar selesai.
Langkah induktif
Asumsikan (𝑘) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 3, yaitu asumsikan bahwa (𝑘 + 1)² < 2𝑘² untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 3.
Pada hipotesis induktif harus ditunjukkan bahwa (𝑘 + 1) juga benar. Dalam hal ini harus ditunjukkan jika (𝑘 + 1)² < 2𝑘² benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan k ³ 3, maka ((𝑘 + 1) + 1)² < 2(𝑘 + 1)² juga benar.
Diperoleh
((k + 1) + 1)² = (k + 1)² + 2(k + 1) + 1

                     = 2k² + 2k + 3

                     = 2k² + 2k + 3 + (2k – 1)

                     = 2k² + 4k + 2

                     = 2(k² + 2k + 1)

                     = 2(k + 1)²

Telah ditunjukkan bahwa (𝑘 + 1) benar jika 𝑃(𝑘) benar. Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut prinsip induksi matematika (𝑛) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3. Dengan demikian terbukti bahwa (𝑛 + 1)² < 2𝑛² benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 dengan n ≥ 3.

 

9.     𝑛! > 2𝑛 untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 4.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan (𝑛) adalah pernyataan bahwa 𝑛! > 2𝑛. Perhatikan bahwa ketaksamaan salah untuk 𝑛 = 1, 2, dan 3
Langkah dasar
Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk 𝑛 ≥ 4 mensyaratkan bahwa langkah dasar adalah (4).
Perhatikan bahwa (4) benar karena 4! = 4.3.2.1 = 24 > 24 = 16. Langkah dasar selesai.
Langkah induktif
Asumsikan (𝑘) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 4, yaitu asumsikan bahwa 𝑘! > 2𝑘 untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 4. Pada hipotesis induktif harus ditunjukkan bahwa (𝑘 + 1) juga benar. Dalam hal ini harus ditunjukkan jika 𝑘! > 2𝑘 benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan k ³ 4, maka (𝑘 + 1)! > 2(𝑘 + 1) juga benar.
Diperoleh
(k + 1)! = (k + 1) × k!

             = 2^k × (k + 1)

             = 2^k × 2untuk k4

             = 2^{k + 1}
Telah ditunjukkan bahwa (𝑘 + 1) benar jika 𝑃(𝑘) benar. Langkah induktif selesai.

Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut prinsip induksi matematika (𝑛) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 4. Dengan demikian terbukti bahwa 𝑛! > 2𝑛 untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 4.

 

 untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 7.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan (𝑛) adalah pernyataan bahwa . Perhatikan bahwa ketaksamaan salah untuk 𝑛 = 2, 3, 4, 5, dan 6

Langkah dasar
Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk 𝑛 ≥ 7 mensyaratkan bahwa langkah dasar adalah (7).
Perhatikan bahwa (7) benar karena . Langkah dasar selesai.

Langkah induktif
Asumsikan (𝑘) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 7, yaitu asumsikan bahwa  untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 7. Pada hipotesis induktif harus ditunjukkan bahwa (𝑘 + 1) juga benar. Dalam hal ini harus ditunjukkan jika  benar untuk sebarang bilangan asli 𝑘 dengan k ³ 7, maka  juga benar.

Diperoleh:

Telah ditunjukkan bahwa (𝑘 + 1) benar jika 𝑃(𝑘) benar. Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut prinsip induksi matematika (𝑛) benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 7. Dengan demikian terbukti bahwa  untuk sebarang bilangan asli 𝑛 ≥ 7.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Latihan Penerapan Induksi Matematika - 2. Please share...!