Situs gratis pertama yang direkomendasikan untuk membuat blog adalah Situs gratis pertama yang direkomendasikan untuk membuat blog adalah Blogger.
» » Latihan Penerapan Induksi Matematika - 1

Latihan Penerapan Induksi Matematika - 1

Gunakan induksi matematis untuk membuktikan kebenaran pernyataan berikut.


4.     2 + 7 + 12 + ⋯ + (5𝑛 – 3) = ½ (5𝑛 - 1) untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa
𝑃(𝑛) = 2 + 7 + 12 + ⋯ + (5𝑛 – 3) = ½ 𝑛(5𝑛 – 1)

Langkah dasar.
𝑃(1) benar, karena ½ (1)(5(1) – 1) = 1 = ½ (4) = 2
Langkah dasar selesai.

Langkah induktif.
Untuk n = k dengan π‘˜ adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:
𝑃(π‘˜) = 2 + 7 + 12 + ⋯ + (5π‘˜ – 3) = ½  π‘˜(5π‘˜ – 1)
Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar
P(k + 1) = 2 + 7 + 12 + ⋯ + (5π‘˜ – 3) + (5(k + 1) − 3)

         = ½ (k + 1)(5(k + 1) − 1)

    = ½ (k + 1)(5k + 4)
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:
2 + 7 + 12 + ⋯ + (5π‘˜ – 3) + (5(k + 1) − 3)

        = (2 + 7 + 12 + ⋯ + (5π‘˜ – 3)) + (5(k + 1) − 3)

        = ½ k(5k – 1) + (5(k + 1) – 3)

        = ½ k(5k – 1) + (5k + 2)

        = ½ (k(5k – 1) + 2(5k + 2))

        = ½ (5k2 – k + 10k + 4)

        = ½ (5k2 + 9k + 4)

        = ½ (k + 1) (5k + 4)


Kedua ruas dari 𝑃(π‘˜ + 1) sama, maka 𝑃(π‘˜ + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika kita telah menunjukkan bahwa 2 + 7 + 12 + ⋯ + (5𝑛 – 3) = ½ 𝑛(5𝑛 - 1) untuk sebarang bilangan asli n.

 

5.     𝑛2 + 𝑛 habis dibagi 2 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk sebarang bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan 2 adalah faktor dari 𝑛2 + 𝑛.

Langkah dasar.
𝑃(1) benar karena 𝑛2 + 𝑛 = 12 + 1 = 2 = 2 ∙ 1.
Sehingga 2 adalah faktor dari 𝑛2 + 𝑛 untuk 𝑛 = 1.
Langkah dasar selesai.

Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan mengasumsikan bahwa 2 adalah faktor dari π‘˜2 + π‘˜ atau ekuivalen dengan π‘˜2 + π‘˜ = 2𝑐 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k) benar, maka P(k + 1), yaitu pernyataan bahwa 2 adalah faktor dari (π‘˜ + 1)2  + (π‘˜ + 1), juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 2 adalah faktor dari (π‘˜ + 1)2 + (π‘˜ + 1).
Perhatikan bahwa:
(π‘˜ + 1)2 + (π‘˜ + 1) = π‘˜2 + 2π‘˜ + 1 + π‘˜ + 1
                            = (π‘˜2 + π‘˜) + (2π‘˜ + 2)
                            = (π‘˜2 + π‘˜) + 2(π‘˜ + 1)
                            = 2𝑐 + 2(π‘˜ + 1)
                            = 2(𝑐 + π‘˜ + 1)
Dari baris terakhir, karena bentuk (𝑐 + π‘˜ + 1) adalah bilangan bulat, maka jelas bahwa 2 adalah faktor dari (π‘˜ + 1)2 + (π‘˜ + 1). Jadi P(k + 1) benar.
Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 𝑛2 + 𝑛 habis dibagi 2 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

 

6.     𝑛3 + 2𝑛 habis dibagi 3 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk sebarang bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan 3 adalah faktor dari 𝑛3 + 2𝑛.

Langkah dasar.
𝑃(1) benar karena 𝑛3 + 2𝑛 = 13 + 2(1) = 3 = 3 ∙ 1.
Sehingga 2 adalah faktor dari 𝑛3 + 2𝑛 untuk 𝑛 = 1.
Langkah dasar selesai.

Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan mengasumsikan bahwa 3 adalah faktor dari π‘˜3 + 2π‘˜ atau ekuivalen dengan π‘˜3 + 2π‘˜ = 3𝑐 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k) benar, maka P(k + 1), yaitu pernyataan bahwa 3 adalah faktor dari (π‘˜ + 1)3 + 2(π‘˜ + 1), juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari (π‘˜ + 1)3 + 2(π‘˜ + 1).

Perhatikan bahwa:
(π‘˜ + 1)3 + 2(π‘˜ + 1) = π‘˜3 + 3π‘˜2 + 3π‘˜ + 1 + 2π‘˜ + 2
                             = (π‘˜3 + 2π‘˜) + (3π‘˜2 + 3π‘˜ + 3)
                             = (π‘˜3 + 2π‘˜) + 3(π‘˜2 + π‘˜ + 1)
                             = 3𝑐 + 3(π‘˜2 + π‘˜ + 1)
                             = 3(𝑐 + π‘˜2 + π‘˜ + 1)
Dari baris terakhir, karena bentuk (𝑐 + π‘˜2 + π‘˜ + 1) adalah bilangan bulat, maka jelas bahwa 3 adalah faktor dari (π‘˜ + 1)3 + 2(π‘˜ + 1). Jadi P(k + 1) benar.
Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 𝑛3 + 2𝑛 habis dibagi 3 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

 

7.     𝑛5 – 𝑛 habis dibagi 5 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk sebarang bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan 5 adalah faktor dari 𝑛5 – 𝑛.
Langkah dasar.
𝑃(1) benar karena 𝑛5 – 𝑛 = 15 – 1 = 0 = 5 ∙ 0.
Sehingga 5 adalah faktor dari 𝑛5 – 𝑛 untuk 𝑛 = 1.
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan mengasumsikan bahwa 5 adalah faktor dari π‘˜5 – π‘˜ atau ekuivalen dengan π‘˜5 – π‘˜ = 5𝑐 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k) benar, maka P(k + 1), yaitu pernyataan bahwa 5 adalah faktor dari (π‘˜ + 1)5 – (π‘˜ + 1), juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 5 adalah faktor dari (π‘˜ + 1)5 –
(π‘˜ + 1).
Perhatikan bahwa:
(π‘˜ + 1)5 – (π‘˜ + 1)

     = π‘˜5 + 5π‘˜4 + 10π‘˜3 + 10π‘˜2 + 5π‘˜ + 1 – π‘˜ – 1
     = (π‘˜5 – π‘˜) + (5π‘˜4 + 10π‘˜3 + 10π‘˜2 + 5π‘˜)
     = (π‘˜5 – π‘˜) + 5(π‘˜4 + 2π‘˜3 + 2π‘˜2 + π‘˜)
     = 5𝑐 + 5(π‘˜4 + 2π‘˜3 + 2π‘˜2 + π‘˜)
     = 5(𝑐 + π‘˜4 + 2π‘˜3 + 2π‘˜2 + π‘˜)
Dari baris terakhir, karena bentuk (𝑐 + π‘˜4 + 2π‘˜3 + 2π‘˜2 + π‘˜) adalah bilangan bulat, maka jelas bahwa 5 adalah faktor dari (π‘˜ + 1)5 – (π‘˜ + 1). Jadi P(k + 1) benar.
Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 𝑛5 – 𝑛 habis dibagi 5 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Latihan Penerapan Induksi Matematika - 1. Please share...!

Back To Top