Latihan Penerapan Induksi Matematika - 1

Sabtu, 03 Februari 2024

Gunakan induksi matematis untuk membuktikan kebenaran pernyataan berikut.

4.     2 + 7 + 12 + ⋯ + (5𝑛 – 3) = ½ (5𝑛 - 1) untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa
𝑃(𝑛) = 2 + 7 + 12 + ⋯ + (5𝑛 – 3) = ½ 𝑛(5𝑛 – 1)

Langkah dasar.
𝑃(1) benar, karena ½ (1)(5(1) – 1) = 1 = ½ (4) = 2
Langkah dasar selesai.

Langkah induktif.
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:
𝑃(𝑘) = 2 + 7 + 12 + ⋯ + (5𝑘 – 3) = ½  𝑘(5𝑘 – 1)
Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar
P(k + 1) = 2 + 7 + 12 + ⋯ + (5𝑘 – 3) + (5(k + 1) − 3)

         = ½ (k + 1)(5(k + 1) − 1)

    = ½ (k + 1)(5k + 4)
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:
2 + 7 + 12 + ⋯ + (5𝑘 – 3) + (5(k + 1) − 3)

        = (2 + 7 + 12 + ⋯ + (5𝑘 – 3)) + (5(k + 1) − 3)

        = ½ k(5k – 1) + (5(k + 1) – 3)

        = ½ k(5k – 1) + (5k + 2)

        = ½ (k(5k – 1) + 2(5k + 2))

        = ½ (5k² – k + 10k + 4)

        = ½ (5k² + 9k + 4)

        = ½ (k + 1) (5k + 4)

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika kita telah menunjukkan bahwa 2 + 7 + 12 + ⋯ + (5𝑛 – 3) = ½ 𝑛(5𝑛 - 1) untuk sebarang bilangan asli n.

 

5.     𝑛² + 𝑛 habis dibagi 2 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk sebarang bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan 2 adalah faktor dari 𝑛² + 𝑛.

Langkah dasar.
𝑃(1) benar karena 𝑛² + 𝑛 = 12 + 1 = 2 = 2 ∙ 1.
Sehingga 2 adalah faktor dari 𝑛² + 𝑛 untuk 𝑛 = 1.
Langkah dasar selesai.

Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan mengasumsikan bahwa 2 adalah faktor dari 𝑘² + 𝑘 atau ekuivalen dengan 𝑘2 + 𝑘 = 2𝑐 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k) benar, maka P(k + 1), yaitu pernyataan bahwa 2 adalah faktor dari (𝑘 + 1)²  + (𝑘 + 1), juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 2 adalah faktor dari (𝑘 + 1)² + (𝑘 + 1).
Perhatikan bahwa:
(𝑘 + 1)2 + (𝑘 + 1) = 𝑘² + 2𝑘 + 1 + 𝑘 + 1
                            = (𝑘² + 𝑘) + (2𝑘 + 2)
                            = (𝑘² + 𝑘) + 2(𝑘 + 1)
                            = 2𝑐 + 2(𝑘 + 1)
                            = 2(𝑐 + 𝑘 + 1)
Dari baris terakhir, karena bentuk (𝑐 + 𝑘 + 1) adalah bilangan bulat, maka jelas bahwa 2 adalah faktor dari (𝑘 + 1)² + (𝑘 + 1). Jadi P(k + 1) benar.
Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 𝑛² + 𝑛 habis dibagi 2 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

 

6.     𝑛³ + 2𝑛 habis dibagi 3 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk sebarang bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan 3 adalah faktor dari 𝑛³ + 2𝑛.

Langkah dasar.
𝑃(1) benar karena 𝑛³ + 2𝑛 = 13 + 2(1) = 3 = 3 ∙ 1.
Sehingga 2 adalah faktor dari 𝑛3 + 2𝑛 untuk 𝑛 = 1.
Langkah dasar selesai.

Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan mengasumsikan bahwa 3 adalah faktor dari 𝑘3 + 2𝑘 atau ekuivalen dengan 𝑘3 + 2𝑘 = 3𝑐 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k) benar, maka P(k + 1), yaitu pernyataan bahwa 3 adalah faktor dari (𝑘 + 1)3 + 2(𝑘 + 1), juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari (𝑘 + 1)3 + 2(𝑘 + 1).

Perhatikan bahwa:
(𝑘 + 1)³ + 2(𝑘 + 1) = 𝑘³ + 3𝑘² + 3𝑘 + 1 + 2𝑘 + 2
                             = (𝑘³ + 2𝑘) + (3𝑘² + 3𝑘 + 3)
                             = (𝑘³ + 2𝑘) + 3(𝑘² + 𝑘 + 1)
                             = 3𝑐 + 3(𝑘² + 𝑘 + 1)
                             = 3(𝑐 + 𝑘² + 𝑘 + 1)
Dari baris terakhir, karena bentuk (𝑐 + 𝑘² + 𝑘 + 1) adalah bilangan bulat, maka jelas bahwa 3 adalah faktor dari (𝑘 + 1)³ + 2(𝑘 + 1). Jadi P(k + 1) benar.
Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 𝑛³ + 2𝑛 habis dibagi 3 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

 

7.     𝑛⁵ – 𝑛 habis dibagi 5 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Alternatif Penyelesaian:

Untuk sebarang bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan 5 adalah faktor dari 𝑛⁵ – 𝑛.
Langkah dasar.
𝑃(1) benar karena 𝑛⁵ – 𝑛 = 15 – 1 = 0 = 5 ∙ 0.
Sehingga 5 adalah faktor dari 𝑛⁵ – 𝑛 untuk 𝑛 = 1.
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan mengasumsikan bahwa 5 adalah faktor dari 𝑘⁵ – 𝑘 atau ekuivalen dengan 𝑘⁵ – 𝑘 = 5𝑐 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k) benar, maka P(k + 1), yaitu pernyataan bahwa 5 adalah faktor dari (𝑘 + 1)⁵ – (𝑘 + 1), juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 5 adalah faktor dari (𝑘 + 1)⁵ –
(𝑘 + 1).
Perhatikan bahwa:
(𝑘 + 1)⁵ – (𝑘 + 1)

     = 𝑘⁵ + 5𝑘⁴ + 10𝑘³ + 10𝑘² + 5𝑘 + 1 – 𝑘 – 1
     = (𝑘⁵ – 𝑘) + (5𝑘⁴ + 10𝑘³ + 10𝑘² + 5𝑘)
     = (𝑘⁵ – 𝑘) + 5(𝑘⁴ + 2𝑘³ + 2𝑘² + 𝑘)
     = 5𝑐 + 5(𝑘⁴ + 2𝑘³ + 2𝑘² + 𝑘)
     = 5(𝑐 + 𝑘⁴ + 2𝑘³ + 2𝑘² + 𝑘)
Dari baris terakhir, karena bentuk (𝑐 + 𝑘⁴ + 2𝑘³ + 2𝑘² + 𝑘) adalah bilangan bulat, maka jelas bahwa 5 adalah faktor dari (𝑘 + 1)⁵ – (𝑘 + 1). Jadi P(k + 1) benar.
Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 𝑛⁵ – 𝑛 habis dibagi 5 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Latihan Penerapan Induksi Matematika - 1. Please share...!