Latihan Penerapan Induksi Matematika

Jumat, 02 Februari 2024

Gunakan induksi matematis untuk membuktikan kebenaran pernyataan berikut.

1.     2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = (𝑛 + 1) untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan (𝑛) adalah pernyataan bahwa
𝑃(𝑛) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

Langkah dasar.
(1) benar, karena 1(1 + 1) = 2
Langkah dasar selesai.

Langkah induktif.
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:
𝑃(𝑘) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1)
Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar:
𝑃(𝑘 + 1) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)((𝑘 + 1) + 1)
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh
2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = (2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘) + +2(𝑘 + 1)
                                                 = 𝑘(𝑘 + 1) + 2(𝑘 + 1)
                                                 = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
                                                 = (𝑘 + 1)((𝑘 + 1) + 1)
Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika kita telah menunjukkan bahwa 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = (𝑛 + 1) untuk sebarang bilangan asli n.

 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan (𝑛) adalah pernyataan bahwa:

Langkah dasar.
𝑃(1) benar, karena 

Langkah dasar selesai.

Langkah induktif.
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:

Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar:

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh:

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika kita telah menunjukkan bahwa:

untuk sebarang bilangan asli n.

 

3.     3 + 9 + 15 + ⋯ + (6𝑛 – 3) = 3𝑛² untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Alternatif Penyelesaian:

Misalkan 𝑃(𝑛) adalah pernyataan bahwa:
𝑃(𝑛) = 3 + 9 + 15 + ⋯ + (6𝑛 – 3) = 3𝑛²

Langkah dasar.
𝑃(1) benar, karena 3(1)² = 3
Langkah dasar selesai.

Langkah induktif.
Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan:
𝑃(𝑘) = 3 + 9 + 15 + ⋯ + (6𝑘 – 3) = 3𝑘²

Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar
𝑃(𝑘 + 1) = 3 + 9 + 15 + ⋯ + (6𝑘 – 3) + (6(𝑘 + 1) – 3) = 3(𝑘 + 1)²
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh
3 + 9 + 15 + ... + (6k − 3) + (6(k + 1) − 3)

= (3 + 9 + 15 + ... + (6k – 3)) + (6(k + 1) − 3)

= 3k² + (6(k + 1) − 3)

= 3k² + 6k + 3

= 3(k² + 2k + 1)

= 3(k + 1)

 

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai).
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi matematika kita telah menunjukkan bahwa 3 + 9 + 15 + ⋯ + (6𝑛 – 3) = 3𝑛² untuk sebarang bilangan asli n.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Latihan Penerapan Induksi Matematika . Please share...!