Hubungan Dua Lingkaran

Jumat, 11 November 2022

Kedudukan lingkaran L₁ terhadap L₂ ditentukan oleh nilai diskriminan D = b² – 4ac, hasil dari substitusi kedua persamaan lingkaran tersebut dengan ketentuan :

(1)   Jika D > 0 kedua lingkaran berpotongan di dua titik

Dalam hal ini : r₁ + r₂ > P₁P₂

 

(2)  Jika D = 0 kedua lingkaran bersinggungan di satu titik

 

Bersinggungan di luar

Dalam hal ini : : r₁ + r₂ = P₁P₂ 

Bersinggungan di dalam

Dalam hal ini : r₁ + r₂ > P₁P₂

 

(3)  Jika D < 0 kedua lingkaran saling lepas

 

Saling lepas di luar

Dalam hal ini : r₁ + r₂ < P₁P₂

Saling lepas di dalam

Dalam hal ini : r₁ + r₂ > P₁P₂

 

Sebagai contoh kedudukan lingkaran x² + y² – 8x + 6y + 1 = 0 terhadap lingkaran

x² + y² + 4x + 2y – 7 = 0 adalah berpotongan di dua titik, karena :

x² + y² – 8x + 6y + 1 = 0

x² + y² + 4x + 2y – 7 = 0

-------------------------------  –

–12x + 4y + 8 = 0 maka y = 3x – 2

Sehingga      x² + (3x – 2)² – 8x + 6(3x – 2) + 1 = 0

x² + 9x² – 12x + 4 – 8x + 18x – 12 + 1 = 0

10x² – 2x – 7 = 0

Ambil D = (–2)² – 4(10)(-7) = 284 > 0

Karena D > 0 maka kedua lingkaran berpotongan di dua titik.

 

Untuk lebih jelasnya,  pelajarilah contoh soal berikut ini:

 

1.     Bagaimanakah kedudukan lingkaran x² + y² + 5x – 3y – 14 = 0 dan lingkaran x² + y² + 4x – 2y – 12 = 0 ? Jika berpotongan atau bersinggungan, tentukanlah titik potong atau titik singggungnya

 

Alternatif Pembahasan :

 

x² + y² + 5x – 3y – 14 = 0

x² + y² + 4x – 2y – 12 = 0

------------------------------ –

     x – y – 2 = 0    maka           y = x – 2

 

Sehingga           x² + (x – 2)2 + 5x – 3(x – 2) – 14 = 0

x² + x² – 4x + 4 + 5x – 3x + 6 – 14 = 0

2x² – 2x – 4 = 0

x² – x – 2 = 0

 

Ambil D = (–1)² – 4(1)( –2) = 9 > 0 maka kedua lingkaran berpotongan di dua titik.

Titik potongnya :         x² – x – 2 = 0

(x – 2)(x + 1) = 0

x₁ = 2 dan x₂ = –1

 

Untuk x₁ = 2 maka y₁ = 2 – 2 = 0 titiknya (2, 0)

Untuk x₂ = –1 maka y₂ = 2 – (–1) = 3 titiknya (–1, 3).

 

2.     Jika lingkaran (x – 2)² + (y – 2)² = 4 memotong lingkaran x² + y² = 4 di titik A dan B, maka tentukanlah jarak A dan B ?

 

Alternatif Pembahasan :

 

(x – 2)² + (y – 2)² = 4

x² – 4x + 4 + y² – 4y + 4 = 4

x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0                        … (1)

x² + y² = 4                                              … (2)

 

(1) dan (2) disubstitusi, diperoleh :        x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0

       4 – 4x – 4y + 4 = 0

       y = x + 2

 

sehingga :          x² + y² = 4

x² + (x + 2)² = 4

x² + x² + 4x + 4 = 4

2x² + 4x = 0

2x(x + 2) = 0

x₁ = 0 dan x₂ = –2

 

Untuk x₁ = 0 maka y₁ = 0 + 2 = 2 titiknya A(0, 2)

Untuk x₂ = –2 maka y₂ = –2 + 2 = 0 titiknya B(–2, 0).

 

  

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Hubungan Dua Lingkaran. Please share...!