Deret Aritmetika

Sabtu, 13 April 2024

2.     Deret Aritmetika

Deret Aritmetika adalah jumlah dari seluruh suku-suku pada barisan aritmetika.
Jika barisan aritmetikanya adalah U₁, U₂, U₃, … U_n maka deret aritmetikanya. U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n dan dilambangkan dengan S_n.

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n
S_n = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (U_n – 2b) + (U_n – b) + U_n
S_n = U_n + (U_n – b) + (U_n – 2b) + … + (a + 2b) + (a + b) + a
2 Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + …. + (a + U_n) + (a + U_n) + (a + U_n)
                                                ¯
                                  n suku
2 S_n = n (a + U_n)

S_n = ½ n (a + U_n)

Karena U_n = a + (n – 1)b maka jika disubstitusikan ke rumus menjadi.
S_n = ½ n (a + a + (n – 1)b )
S_n = ½ n (2a + (n – 1)b)

S_n = ½ n (2a + (n – 1)b)

Keterangan :
S_n = Jumlah n suku pertama deret aritmetika
U_n = Suku ke-n deret aritmetika
a = suku pertama
b = beda
n = banyaknya suku

Untuk menentukan suku ke-n selain menggunakan rumus Un = a + (n – 1)b dapat juga digunakan rumus yang lain yaitu :
          U_n = S_n – S_n–1

Contoh:

Tentukan jumlah 20 suku pertama deret 3 + 7 + 11 + …

Alternatif Penyelesaian:

Mencari beda dengan mengurangi suku setelah dengan duku sebelumnya dan dapat dituliskan sebagi berikut:
𝑏 = 𝑈_𝑛 – 𝑈_𝑛-1
𝑏 = 𝑈₂ – 𝑈₁
𝑏 = 7 – 3
𝑏 = 4
Selanjutnya subsitusi 𝑏 = 4 untuk mencari 𝑆20
S_n = ½ n (2a + (n – 1)b)
S_n = ½ . 20 (2 . 3 + (20 – 1)4)
S_n = 10 (6 + 19 . 4)
S_n = 10 (6 + 76)
S_n = 10 (82)
S_n = 820

Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 820.

Contoh:

Suatu barisan aritmetika dengan suku ke-4 adalah –12 dan suku kedubelas adalah –28. Tentukan jumlah 15 suku pertama !

Alternatif Penyelesaian:

U₁₂ = a + 11 b = –28
U₄  = a + 3 b   = –12
                 8b  = –16
                   b = –2

U₄ = a + 3b = –12
⇔  a + (–2) = –12
⇔  a + (–6) = –12
⇔             a = –12 + 6
⇔             a = – 6

Subsitusi 𝑎 dan 𝑏 untuk mencari 𝑆₁₅
Sn = ½ n [2a + (n – 1)b]
S₁₅ = ½  . 15 [2 (–6) + (15 – 1)(–2)]
      = ½ . 15 [ –12 + 14(–2)]
      = ½ . 15 [ –12 –28]
      = ½ . 15 [–40]
      = – 300

Jadi, jumlah 15 suku pertama adalah –300.

Contoh:

Suatu deret aritmetika dengan S₁₂ = 150 dan S₁₁ = 100, tentukan U₁₂ !

Alternatif Penyelesaian:

Karena yang diketahui 𝑆₁₂ dan 𝑆₁₁ maka untuk mencari 𝑈_𝑛 kita bisa gunakan rumus berikut : 𝑈_𝑛 = 𝑆_𝑛 – 𝑆_𝑛–1
U_n = S_n – S_n–1
U₁₂ = S₁₂ – S₁₁
      = 150 – 100
      = 50

Jadi, nilai dari 𝑈₁₂ adalah 50.

Contoh:

Suatu barisan aritmetika dirumuskan U_n = 6n – 2 tentukan rumus S_n !

Alternatif Penyelesaian:

Diketahui 𝑈_𝑛 = 6𝑛 – 2, untuk mencari 𝑈₁, 𝑈₂, 𝑈₃, … kita dapat mensubsitusi nilai 𝑛 = 1, 2, 3, … sebagai berikut.
a = U₁ = 6(1) – 2 = 4
      U₂ = 6(2) – 2 = 10
b = U₂ – U₁ = 10 – 4 = 6

Subtitusi nilai 𝑎 = 4 dan 𝑏 = 6 untuk mencari rumus 𝑆_𝑛.
Sn = ½ n [2a + (n – 1)b]
Sn = ½ n [2 . 4 + (n – 1)6]
Sn = ½ n [ 8 + 6n – 6]
Sn = ½ n [ 6n + 2]
Sn = 3n² + n

Jadi, rumus 𝑆𝑛 adalah 𝑆𝑛 = 3𝑛² + 𝑛.

Contoh:

Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 10 dan 200 !

Alternatif Penyelesaian:

Jumlah bilangan ganjil antara 10 dan 200 dapat dituliskan dalam deret sebagai berikut:

11 + 13 + 15 + 17 + ⋯ +199

Deret di atas membentuk deret aritmetika dengan 𝑎 = 11, 𝑏 = 2 dan 𝑈_𝑛 = 199.
Langkah selanjutnya mencari 𝑛.
Un = a + (n – 1)b = 199
⇔  11 + (n – 1)2 = 199           Subtitusi nilai 𝑎 = 11, 𝑏 = 2 dan
⇔  11 + 2n – 2 = 199                 𝑈_𝑛 = 199 ke rumus 𝑈_𝑛
⇔  9 + 2n = 199
⇔  2n = 190
⇔  n = 95
Subtitusi nilai 𝑛 = 95 untuk mencari 𝑆𝑛 diperoleh
S_n = ½ n (a + Un)
S_n = ½ . 95 (11 + 199)
Sn = ½ . 95 (210)
Sn = 9975

Jadi, jumlah semua bilangan ganjil antara 10 dan 200 adalah 9975.

C.   Rangkuman

1.     Barisan Aritmetika
Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih antara dua suku yang berurutan sama atau tetap.
Selisih dua suku yang berurutan disebut beda (b)

b = U_n – U_{n – 1}
Jadi rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah.

U_n = a + (n – 1)b
Dengan :          U_n = Suku ke-n
                        a = Suku pertama
                        b = beda atau selisih

2.     Deret Aritmetika
Deret Aritmetika adalah jumlah dari seluruh suku-suku pada barisan aritmetika.
Jika barisan aritmetikanya adalah U₁, U₂, U₃, …., U_n maka deret aritmetikanya U₁+ U₂ + U₃ + … + U_n dan dilambangkan dengan Sn.

S_n = ½ n (a + U_n) atau   S_n = ½ n (2a + (n – 1)b)

 

Keterangan :    S_n = Jumlah n suku pertama deret aritmetika
                        U_n = Suku ke-n deret aritmetika
                        a = suku pertama
                        b = beda
                        n = banyaknya suku
Untuk menentukan suku ke-n selain menggunakan rumus U_n = a + (n – 1)b dapat juga digunakan rumus yang lain yaitu :

     U_n = S_n – S_n–1

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Deret Aritmetika. Please share...!