Kegiatan Pembelajaran 1: Kemiringan Garis Singgung dan Kemonotan Fungsi Aljabar

Selasa, 21 Mei 2024

A.   Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini, diharapkan Ananda dapat menganalisis keberkaitan turunan pertama fungsi aljabar dengan kemiringan garis singgung dan selang kemonotonan fungsi (interval fungsi naik dan fungsi turun) dan dapat menggunakan turunan pertama fungsi untuk menentukan kemiringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung dan garis normal kurva dan selang kemonotonan fungsi aljabar.

 

B.   Uraian Materi

Dalam mempelajari modul Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar ada materi prasyarat yang harus dipelajari kembali, diantaranya adalah rumus turunan atau diferensial fungsi aljabar beserta sifat-sifatnya.

Rumus Turunan Fungsi Aljabar serta Sifat-sifatnya

Misalkan f, u, dan v fungsi dari x bernilai real serta dapat diturunkan dan a konstanta bilangan real, maka berlaku:

Kemiringan Garis Singgung

Perhatikan Gambar 2 berikut!

Misalkan P adalah sebuah titik tetap pada suatu kurva dan andaikan Q adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan pada kurva tersebut.
Koordinat titik P adalah (c, f(c)), titik Q mempunyai koordinat (c + h, f(c + h)). Tali busur yang melalui P dan Q mempunyai kemiringan atau gradient.

Garis l merupakan garis singgung kurva di titik P. Kemiringan (gradien) garis singgung l adalah:

Persamaan garis singgung kurva y = f(x) dititik (x₁, y₁) adalah y – y1 = m (x – x1), dengan:

Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung pada titik singgung.

Persamaannya adalah .

 

Catatan:
Pengertian dua garis sejajar dan tegak lurus sering
muncul dalam persamaan garis singgung.

v   Misalkan garis g: y = m₁x + c₁ sejajar garis h: y = m₂x + c₂ di mana m₁ dan m₂ masing-masing gradien dari garis g dan h, maka m₁ = m₂.

v   Misalkan garis g: y = m₁x + c₁ tegak lurus garis h: y = m₂x + c₂ di mana m₁ dan m₂ masing-masing gradien dari garis g dan h, maka m₁ · m₂ = –1

Contoh:

Tentukan gradien garis singgung kurva y = x² + 2x – 2 di titik (1, 1) …

Alternatif Penyelesaian:

v   Tentukan turunan pertama dari fungsi y

v   Tentukan gradien garis singgung m

v   Jadi, gradien garis singgung kurva adalah 2 .

 

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = 2x³ - 5x² – x + 6 di titik yang berabsis 1 …

Alternatif Penyelesaian:

v   Tentukan titik singgung (x1 , y1)

Jadi, titik singgungnya adalah (1, 2).

v   Tentukan turunan pertama fungsi y

v   Tentukan gradien m

v   Tentukan persamaan garis singgung

v   Tentukan persamaan garis normal

v   Kesimpulan
Jadi, persamaan garis singgung kurva y = 2x³ – 5x² – x + 6 di titik yang berabsis 1 adalah 5x + y – 7 = 0 dan persamaan garis normalnya adalah x + 5y – 11 = 0.

 

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² + 3 yang tegak lurus dengan garis x + 2y + 2 = 0 …

Alternatif Penyelesaian:

v   Tentukan turunan pertama fungsi y

v   Tentukan gradien garis singgung

Misal g adalah garis singgung kurva, karena garis g tegak lurus garis h (g ⊥ h), maka

v   Tentukan titik singgung (x1, y1)

Jadi, titik singgungnya (x₁, y₁) = (1, 4)

v   Tentukan persamaan garis singgung

v   Kesimpulan
Jadi, persamaan garis singgung kurva y = x² + 3 yang tegak lurus dengan garis
x + 2y + 2 = 0 adalah y = 2x + 2.

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 1: Kemiringan Garis Singgung dan Kemonotan Fungsi Aljabar. Please share...!