Permutasi Siklik

Selasa, 23 Juli 2024

3.     Permutasi Siklik

Perhatikan bahwa permutasi yang kita bicarakan di atas adalah permutasi yang objek-objeknya dijajar atau disusun pada satu garis. Permutasi demikian ini dinamakan permutasi linear. Namun, jika objek-objek tersebut dijajar/disusun melingkar (pada suatu lingkaran) dan arah melingkarnya diperhatikan, misalnya searah putaran jarum jam, maka permutasi yang demikian dinamakan permutasi siklik.

Coba kalian perhatikan gambar berikut.

 

Tiga objek A, B, dan C di atas disusun secara melingkar. Walaupun nampak berbeda, namun jika dilihat dari urutan (searah jarum jam misalnya) maka ketiga susunan ini adalah sama.

Jadi, dari tiga buah permutasi linear ABC, BCA, dan CAB diperoleh hanya satu permutasi siklik (ABC). Demikian juga untuk tiga permutasi linear ACB, CBA, dan BAC diperoleh hanya satu permutasi siklik (ACB). Dengan demikian terdapat dua permutasi-3 siklik dari tiga objek A, B, dan C, yaitu (ABC) dan (ACB).

Selanjutnya secara umum, jika pengulangan tidak diperkenankan, hubungan antara banyaknya permutasi siklik dan banyaknya permutasi linear dinyatakan dalam teorema berikut.

Definisi Permutasi Siklik

Banyaknya permutasi untuk n unsur berbeda yang diatur dalam sebuah lingkaran disebut permutasi siklik. Permutasi siklik dari n unsur (n > 1) ditentukan oleh rumus:

P_s (n) = (n – 1)!

Contoh

6 orang manager perusahaan duduk mengelilingi sebuah meja berbentuk melingkar untuk mengadakan rapat. Berapa banyak cara mereka dapat duduk mengelilingi meja rapat tersebut dengan urutan yang berbeda?

Alternatif Penyelesaian:

Banyaknya cara agar 6 orang manager dapat duduk mengelilingi meja rapat sama dengan permutasi melingkar dari 6 unsur, yaitu

Jadi, banyak cara 6 orang manager perusahaan dapat duduk mengelilingi meja rapat tersebut dengan urutan yang berbeda adalah 120 cara.

Contoh

Satu keluarga terdiri dari ayah, ibu, dan 4 orang anaknya. Mereka duduk di meja makan yang bentuknya melingkar. Ada berapa cara anggota keluarga tersebut duduk mengelilingi meja jika ayah dan ibu selalu duduk berdampingan?

Alternatif Penyelesaian:

·     Syarat khusus, ayah dan ibu selalu duduk berdampingan. Posisinya dapat dipertukarkan sebanyak 2! = 2 cara.

·     Ayah dan ibu selalu duduk berdampingan, sehingga posisi ini diblok dan dianggap 1 unsur. Blok (ayah dan ibu) dan 4 orang anaknya menjadi 5 unsur yang duduk melingkar, sehingga dengan permutasi siklik diperoleh:

Dengan Aturan perkalian diperoleh banyak cara anggota keluarga duduk mengelilingi meja jika ayah dan ibu selalu duduk berdampingan adalah 2  24 = 48 cara.

C. Rangkuman

·      Permutasi k unsur dari n unsur berbeda adalah sebuah jajaran dari k unsur yang urutannya diperhatikan.

·      Jika n dan r adalah dua bilangan bulat positif dan r ≤ n, maka banyaknya permutasi r unsur dari n unsur berbeda tanpa pengulangan, diberi notasi P(n, r) adalah:

·      Banyaknya permutasi n unsur dari n unsur berbeda adalah P(n, n) = n!.

·      Banyaknya permutasi dari n unsur yang terdiri dari m₁ unsur jenis pertama sama, m₂ unsur jenis kedua sama, m₃ unsur jenis ketiga sama, …, dan mk unsur jenis ke–k sama ditentukan dengan:

dimana m₁ + m₂ + m₃ + … + m_k = n.

·      Banyaknya permutasi untuk n unsur berbeda yang diatur dalam sebuah lingkaran disebut permutasi siklik. Permutasi siklik dari n unsur (n > 1) ditentukan oleh rumus P_s (n) = (n – 1)!

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Permutasi Siklik. Please share...!