Kegiatan Pembelajaran 1: Menemukan Konsep Turunan

Selasa, 14 Mei 2024

A.   Tujuan Pembelajaran

Pada pembelajaran kali ini, Ananda akan digiring untuk dapat menemukan konsep turunan secara mandiri. Selain itu juga Ananda akan diajak untuk dapat menentukan turunan fungsi aljabar mulai dari yang paling sederhana sampai ke yang kompleks. Namun tidak usah khawatir, dalam modul ini Ananda akan mempelajarinya secara bertahap untuk memungkinkan Ananda dapat mempelajarinya secara mandiri.

 

B.   Uraian Materi

Untuk menemukan konsep turunan, kita akan mencoba mengamati berbagai permasalahan nyata dan mempelajari beberapa kasus dan contohnya. Kita akan memulainya dengan menemukan konsep garis tangen atau garis singgung. Sebagai ilustrasi perhatikan berikut:

Gambar 1

Misalkan seseorang yang sedang bermain papan seluncur bergerak dari titik Q (x₂, y₂) dan melayang ke udara pada titik P(x₁, y₁) sehingga ia bergerak dari titik Q mendekati titik P. Garis yang menghubungkan titik Q (x₂, y₂) dan titik P (x₁, y₁) disebut tali busur atau garis sekan dengan kemiringan atau gradient  (Ingat konsep garis lurus).

Jika ∆x = x₂ – x₁ maka x₂ = ∆x + x₁ (∆x merupakan selisih dari x) dan Jika ∆y = y₂ – y₁ makan y₂ = ∆y + y₁.

Jika ∆x semakin kecil maka Q akan bergerak mendekati P (Jika ∆x ⇾ 0 maka Q ⇾ P).

Sehingga gambar grafiknya dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Gambar 2

Jika y = f(x) maka gradien garis sekan PQ adalah:

Dari persamaan tersebut, kita dapat menarik definisi:

Misalkan 𝒇 ∶ 𝑹 → 𝑹 adalah fungsi kontinu dan titik P (x₁, y₁) dan 𝑸 (𝒙_𝟏 + ∆ , 𝒚_𝟏 + ∆𝒚) pada kurva 𝒇. Garis sekan menghubungkan titik 𝑷 𝒅𝒂𝒏 𝑸 dengan gradient 

Kita kembali ke gambar kedua yuk, Ananda amati kembali bahwa jika titik 𝑄 mendekati 𝑃 maka ∆x ⇾ 0 sehingga diperoleh garis singgung di titik 𝑃 dengan gradien :
  jika limitnya ada, nahhh ini yang harus Ananda pahami tentang teori limit. Dari perhitungan matematis ini kita dapatkan definisi kedua mengenai gradien garis singgung yaitu sebagai berikut:

Misalkan f  adalah fungsi kontinu bernilai real dan titik P (x₁, y₁) pada kurva f. Garis singgung di titik P (x₁, y₁) adalah limit gradient garis sekan di titik P (x₁, y₁), ditulis:   (Jika limitnya ada).

 

Contoh soal 1:
Tentukan gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 3𝑥 – 4 di titik (2, 6)

Alternatif Penyelesaian:

𝑓(𝑥) = 𝑥² + 3𝑥 – 4
𝑓(2) = 2² + 3 (2) – 4 = 4 + 6 – 4 = 6
𝑓(2 + ∆𝑥 ) = (2 + ∆𝑥)² + 3 (2 + ∆𝑥) – 4
                  = 4 + 4∆𝑥 + ∆𝑥² + 6 + 3∆𝑥 – 4

                  = ∆𝑥² + 7∆𝑥 + 6
Menurut rumus :

Jadi gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 3𝑥 – 4 di titik (2, 6) sama dengan 7.

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 1: Menemukan Konsep Turunan. Please share...!