Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran

Rabu, 30 Oktober 2024

3.     Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran

Dari sebuah titik 𝑃(𝑥₁,𝑦₁) di luar lingkaran selalu dapat dibuat dua buah garis singgung pada lingkaran (lihat gambar).

Persamaan garis singgung melalui titik 𝑃(𝑥₁,𝑦₁) di luar lingkaran dapat ditentukan dengan 3 cara :

a.    Menggunakan diskriminan persamaan kuadrat sekutu.

b.   Menggunakan rumus persamaan garis singgung dengan gradien diketahui.

c.    Mencari titik singgung dengan cara menentukan persamaan garis kutub (polar) dari titik P dan memotongkannya dengan lingkaran.

 

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 36 yang melalui titik P(8, 0) di luar lingkaran.

Jawab

a.     Dengan menggunakan diskriminan persamaan kuadrat sekutu

Titik P(8, 0) terletak di luar lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 36, karena 8² + (0)² = 64 > 36.

Persamaan garis singgung melalui titik P(8, 0) dimisalkan:

    

Persamaan y = mx – 8m disubstitusikan ke dalam persamaan lingkaran, diperoleh persamaan kuadrat sekutu,

    

Agar garis menyinggung lingkaran, maka diskriminan persamaan kuadrat sekutu sama dengan nol (D = 0).

    

Nilai gradien m yang diperoleh disubstitusikan ke dalam persamaan (*) sehingga diperoleh dua garis singgung, yaitu:

    

b.     Menggunakan rumus persamaan garis singgung dengan gradien m

Persamaan garis singgung melalui titik P(8, 0) dimisalkan:

    

Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 36 dengan gradien m adalah:

    

Selanjutnya ruas kanan persamaan (*) dan (**) disamakan, sehingga diperoleh,

    

Selanjutnya nilai m disubstitusikan ke dalam persamaan (*) sehingga diperoleh dua garis singgung seperti pada cara diskriminan, yaitu:

    

c.      Menggunakan Persamaan Garis Kutub

Persamaan lingkaran x² + y² = 36

Karena P(x₁, y₁) = P(8, 0) di luar lingkaran maka persamaan garis kutubnya adalah:

    

Untuk menentukan titik singgungnya, substitusikan  ke persamaan lingkaran, diperoleh:

    

Diperoleh titik singgung lingkaran 

Persamaan garis singgung lingkaran : x₁ x + y₁ y = 36.

Untuk  diperoleh persamaan .

Untuk  diperoleh persamaan .

 

Persamaan Garis Kutub

Apabila titik 𝑃(𝑥₁,𝑦₁) di luar lingkaran, maka persamaan garis kutub (polar) sebagai berikut.

v   x² + y² = r² persamaan garis kutub adalah:

         x₁ x + y₁ y = r²

v   (x – a)² + (y – b)² = r² persamaan garis kutub adalah:

         (x₁ – a)(x – a) + (y₁ – b)(y – b) = r²

v   x² + y² + Ax + By + C = 0 persamaan garis kutub adalah:

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran. Please share...!