Kegiatan Pembelajaran 2: Aturan Rantai, Turunan Kedua, dan Laju yang Berkaitan dari Fungsi Trigonometri

Rabu, 01 Januari 2025

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 2 ini, diharapkan Anda dapat menerapkan Aturan Rantai dalam menentukan turunan fungsi komposisi trigonometri, menentukan turunan kedua fungsi trigonometri, dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri khususnya laju yang berkaitan.

B. Uraian Materi

Aturan Rantai

Andaikan Anda diminta menentukan turunan fungsi F(x) = cos (3x – 5). Rumus turunan yang telah Anda pelajari tidak memungkinkan Anda untuk menghitung F′ (x).

Amati oleh Anda bahwa F berupa fungsi komposisi. Pada kenyataannya, andaikan y = f(u) = cos u dan u = g(x) = 3x – 5, maka kita dapat menuliskan y = F(x) = f(g(x)), yakni F = f ∘ g. Kita ketahui bagaimana menentukan turunan fungsi f dan g, sehingga akan bermanfaat sebagai aturan yang memberitahu kita bagaimana menurunkan 𝐹=𝑓∘𝑔 dalam bentuk turunan dari f dan g.

Ternyata turunan fungsi komposisi adalah hasil kali turunan f dan g. Fakta ini merupakan salah satu dari aturan turunan yang terpenting dan disebut Aturan Rantai.

Aturan Rantai

Jika f dan g keduanya fungsi fungsi yang dapat diturunkan dan  F = f ∘ g adalah fungsi komposisi yang didefinisikan oleh F = f(g(x)), maka F dapat diturunkan menjadi  𝐹′ yang diberikan oleh hasil kali:

𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)       (1)

Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang dapat diturunkan, maka:

Untuk lebih memahami lagi tentang aturan rantai pelajari contoh berikut.

Contoh 1

Carilah 𝐹′(𝑥) jika F(x) = cos (3x – 5).

Alternatif Penyelesaian:

❖ Menggunakan persamaan (1)

Ø  Nyatakan F sebagai F(x) = f o g (x) = f(g(x)), dengan  f(u) = cos u dan u = g(x) = 3x – 5

Ø  Cari turunan dari f dan g  𝑓′(𝑢)= −sin𝑢 𝑓′(𝑔(𝑥))= −sin𝑔(𝑥)=−sin(3𝑥−5)  dan 𝑔′(𝑥)=3

Ø  Cari 𝐹′(𝑥)

  𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) 𝑔′(𝑥)

 = – sin (3x – 5) . (3)

 = –3 sin (3x – 5)

❖ Menggunakan persamaan (2)

    

Catatan:

Dalam menggunakan aturan rantai kita bekerja dari luar ke dalam. Rumus (1) mengatakan bahwa kita menurunkan fungsi sebelah luar f (pada fungsi lebih dalam g(x)) dan kemudian kita kalikan dengan turunan fungsi sebelah dalam.

            

Contoh 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi trigonometri berikut.

a.     y = sin (x² – 3x)

b.    y = sin² x

Alternatif Penyelesaian:

a.     Jika y = sin (x² – 3x), maka fungsi sebelah luar adalah fungsi sinus dan fungsi sebelah dalam adalah fungsi kuadrat, sehingga aturan rantai memberikan:

b.    Jika y = sin² x = (sin x)², maka fungsi sebelah luar adalah fungsi kuadrat dan fungsi sebelah dalam adalah fungsi sinus, sehingga aturan rantai memberikan:

 

 

Dari Contoh 2 dapat disimpulkan sebagai berikut.

 

“Sumber Informasi”

Labels: Matematika

Thanks for reading Kegiatan Pembelajaran 2: Aturan Rantai, Turunan Kedua, dan Laju yang Berkaitan dari Fungsi Trigonometri. Please share...!