A. Pernyataan Yang dimaksud dengan kalimat atau pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Ada dua jenis kalimat matematika, yaitu : Kalimat tertutup, merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti. Contoh : a) 3 x 4 = 12 (pernyataan tertutup yang benar) b) 3 + 4 = 12 (pernyataan tertutup yang salah) Kalimat terbuka, merupakan pernyataan yang kebenarannya belum pasti. Contoh : a) Ada daun yang berwarna hijau b) Gula putih rasanya manis B. Ingkaran Pernyataan Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang menyangkal pernyataan yang diberikan. Ingkaran suatu pernyataan dapat dibentuk dengan menambah “Tidak benar bahwa ...” di depan pernyataan yang diingkar. Ingkaran pernyataan adalah ~ p. Contoh : Misalkan pernyataan p : Tembakau yang mengandung nikotin. Ingkaran penyataan p adalah ~ p. Tidak benar bahwa tembakau mengandung nikotin. Tabel kebenaran dari ingkaran p ~ p B S S B C. Pernyataan Majemu (i) Konjungsi Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “dan” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p dan q” yang disebut konjungsi. Konjungsi “p dan q” dilambangkan dengan “p ∧ q”. p q p ˄ q B B S S B S B S B S S S (ii) Disjungsi Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “atau” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut disjungsi. Disjungsi p atau q dilambangkan dengan “p ∨ q”. p q p ˅ q B B S S B S B S B B B S (iii) Implikasi Implikasi “jika p maka q” dilambangkan dengan “p → q”. p q p → q B B S S B S B S B S B B (iv) Biimplikasi Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan “p ↔ q”. p q p ↔ q B B S S B S B S B S S B D. Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk 1. ~ (p ᐱ q) ≡ ~ p ᐯ ~ q 2. ~ (p ᐯ q) ≡ ~ p ᐱ ~ q 3. p ᐱ (q ᐯ r) ≡ (p ᐱ q) ᐯ (p ᐱ q) 4. p ᐯ (q ᐱ r) ≡ (p ᐯ q) ᐱ (p ᐯ q) 5. p → q ≡ p ᐯ ~ q 6. ~ (p → q) ≡ p ᐱ ~ q 7. p ↔ q ≡ (p → q) ᐱ (q → p) = (~ p ᐯ q) ᐱ (q ᐯ p) 8. ~ p ↔ q ≡ (p ᐱ ~ q) ᐯ (q ᐱ ~ p) E. Konvers, Invers, dan Kontraposisi Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut. Jika diketahui implikasi p → q, maka: Konversnya adalah q → p Invernya adalah ~ p → q Kontraposisinya adalah ~ q → ~ p. F. Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya Pernyataan berkuantor ditandai dengan kata “ada” yang dilambangkan dengan ∃ dan yang “semua” atau “untuk setiap” yang dilambangkan dengan “∀”. Contoh : Ingkaran dari pernyataan “semua bus kota bersih” adalah “Tidak semua bus kota bersih”. G. Penarikan Kesimpulan Di dalam logika matematika ada beberapa penarikan kesimpulan yang sah diantaranya adalah: 1. Penarikan Kesimpulan Modus Ponens Pernyataan 1 : p ⇒ q : benar Pernyataan 2 : p : benar ⎼⎼⎼⎼⎼⎼⎼ Kesimpulan : q : benar 2. Penarikan Kesimpulan Modus Tollens Pernyataan 1 : p ⇒ q : benar Pernyataan 2 : ~ q : benar ⎼⎼⎼⎼⎼⎼⎼ Kesimpulan : ~ p : benar 3. Penarikan Kesimpulan Silogisme Pernyataan 1 : p ⇒ q : benar Pernyataan 2 : q ⇒ r : benar ⎼⎼⎼⎼⎼⎼⎼ Kesimpulan : p ⇒ r : benar

Logika Matematika

Senin, 26 Agustus 2019

A.  Pernyataan

Yang dimaksud dengan kalimat atau pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Ada dua jenis kalimat matematika, yaitu :

Kalimat tertutup, merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti.

Contoh :

a)      3 x 4 = 12 (pernyataan tertutup yang benar)

b)      3 + 4 = 12 (pernyataan tertutup yang salah)

Kalimat terbuka, merupakan pernyataan yang kebenarannya belum pasti.

Contoh :

a)      Ada daun yang berwarna hijau

b)      Gula putih rasanya manis

B.  Ingkaran Pernyataan

Ingkaran atau negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang menyangkal pernyataan yang diberikan. Ingkaran suatu pernyataan dapat dibentuk dengan menambah “Tidak benar bahwa ...” di depan pernyataan yang diingkar. Ingkaran pernyataan adalah ~ p.

Contoh :

Misalkan pernyataan p : Tembakau yang mengandung nikotin.

Ingkaran penyataan p adalah ~ p. Tidak benar bahwa tembakau mengandung nikotin.

Tabel kebenaran dari ingkaran

p	~ p
B S	S B

C.  Pernyataan Majemu

(i)             Konjungsi

Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “dan” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p dan q” yang disebut konjungsi. Konjungsi “p dan q” dilambangkan dengan “p ∧ q”.

p	q	p ˄ q
B B S S	B S B S	B S S S

(ii)           Disjungsi

Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “atau” sehingga membentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut disjungsi. Disjungsi p atau q dilambangkan dengan “p ∨ q”. 

p	q	p ˅ q
B B S S	B S B S	B B B S

(iii)         Implikasi

Implikasi “jika p maka q” dilambangkan dengan “p → q”.

p	q	p → q
B B S S	B S B S	B S B B

(iv)         Biimplikasi

Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan “p ↔ q”.

p	q	p ↔ q
B B S S	B S B S	B S S B

D.  Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk

     1.      ~ (p ᐱ q) ≡ ~ p ᐯ ~ q

     2.      ~ (p ᐯ q) ≡ ~ p ᐱ ~ q

     3.      p ᐱ (q ᐯ r) ≡ (p ᐱ q) ᐯ (p ᐱ q)

     4.      p ᐯ (q ᐱ r) ≡ (p ᐯ q) ᐱ (p ᐯ q)

     5.      p → q ≡ p ᐯ ~ q

     6.      ~ (p → q) ≡ p ᐱ ~ q

     7.      p ↔ q ≡ (p → q) ᐱ (q → p) =  (~ p ᐯ q) ᐱ (q ᐯ p)

     8.      ~ p ↔ q ≡ (p ᐱ ~ q) ᐯ (q ᐱ ~ p)

E.  Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari sebuah implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut.

Jika diketahui implikasi p → q, maka:

Konversnya adalah q → p

Invernya adalah ~ p → q

Kontraposisinya adalah ~ q → ~ p.

F.  Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya

Pernyataan berkuantor ditandai dengan kata “ada” yang dilambangkan dengan ∃ dan yang “semua” atau “untuk setiap” yang dilambangkan dengan “∀”.

Contoh :

Ingkaran dari pernyataan “semua bus kota bersih” adalah “Tidak semua bus kota bersih”.

G.  Penarikan Kesimpulan

Di dalam logika matematika ada beberapa penarikan kesimpulan yang sah diantaranya adalah:

1.  Penarikan Kesimpulan Modus Ponens

     Pernyataan 1 : p ⇒ q : benar
     Pernyataan 2 : p        : benar
                           ⎼⎼⎼⎼⎼⎼⎼
     Kesimpulan :     q      : benar

2.  Penarikan Kesimpulan Modus Tollens

     Pernyataan 1 : p ⇒ q : benar
     Pernyataan 2 :     ~ q : benar
                             ⎼⎼⎼⎼⎼⎼⎼
     Kesimpulan :   ~ p    : benar

3.  Penarikan Kesimpulan Silogisme
     Pernyataan 1 : p ⇒ q : benar
     Pernyataan 2 : q ⇒ r : benar
                            ⎼⎼⎼⎼⎼⎼⎼
     Kesimpulan  : p ⇒ r : benar

Labels: Matematika

Thanks for reading Logika Matematika. Please share...!