Peluang

Senin, 26 Agustus 2019

A.  Kaidah Pencacahan

Kaidah-kaidah pencacahan mencoba menemukan beberapa banyaknya hasil yang mungkin terjadi (muncul) pada berbagai percobaan. Secara umum cara menemukan banyaknya hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan adalah dengan menggunakan pendekatan-pendekatan sebagai berikut:

1. Kaidah Perkaian
2. Permutasi
3. Kombinasi.

1.      Kaidah Perkalian

Kaidah perkalian mengatakan bahwa jika tempat pertama dapat diisi dengan cara yang berbeda, tempat kedua dengan n₂ cara, …., tempat ke-k dengan n_k cara, maka banyaknya cara untuk mengisi tempat k yang tersedia adalah n₁ × n₂ × ... × n_k.

2.      Permutasi 

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga AB ≠ BA. Permutasi k unsur dari n unsur k ≤ n, adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda.

Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis:

.

Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n – 1)!.

3.      Kombinas

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk k ≤ n. Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan dengan rumus:

.

B.  Peluang Suatu Kejadian

1.     Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian

Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

2.     Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P (A) ditentukan dengan rumus:

.

3.     Kisaran Nilai Peluang 

Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n (S) = n, n (A) = k dan, maka 0  ≤ P (A)  ≤ 1.  

Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian. pasti.

4.     Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P (A), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n × P(A).

5.     Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Misalkan S adalah ruang sampel dengan n (S) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n (A) = k dan A^c adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (A^c) = n – k, sehingga:

        

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

C. Peluang Suatu Kejadian Majemuk

1.     Gabungan Dua Kejadian

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku: P (A∪B) = P (A) + P(B) – P (A∩B).

Catatan : P (A ∪ B) dibaca “ Kejadian A atau B dan P (A ∩ B) dibaca “Kejadian A dan B”.

2.     Kejadian-kejadian Saling Lepas 

Untuk setiap kejadian berlaku P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B). Jika A ∩ B = Ø,  maka P (A ∩ B) – 0. Sehingga P (A ∪ B) = P (A) + P (B). Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

3.     Kejadian Bersyarat

Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A | B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika P (A ∩ B)  adalah peluang terjadinya A dan B, maka P (A ∩ B) = P (A) x P (A ∣ B).  Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

4.     Teorema Bayes

Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A | B) dengan P (B | A) dalam teorema berikut ini :

.

5.     Kejadian saling bebas Stokhastik

Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

D.  Sebaran Peluang

1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.

Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap a, b, c ∈ R setiap A ⊂ B maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut:

 

2. Sebaran Binom

Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

.

Dengan P sebagai parameter dan 0 ≤ p ≤ 1.

Rumus ini dinyatakan sebagai: P(X) = C (n, x) p^x (1 – p)^{n – 1} , untuk n = 0, 1, 2, .... ,n. Dengan P sebagai parameter dan 0 ≤ p ≤ 1.

   P          = Peluang sukses

   n          = Banyak percobaan

   x          = Muncul sukses

   n – x    = Muncul gagal

Labels: Matematika

Thanks for reading Peluang. Please share...!