Parabola

Selasa, 15 November 2022

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap titik tertentu dan garis tertentu selalu sama. (karena e = 1). Titik tersebut dinamakan fokus (F), dan garis tersebut dinamakan direktrik (d).

Terdapat dua macam bentuk parabola, yakni :

1.     Parabola horizontal

2.     Parabola vertikal.

Berikut ini akan diruaikan proses mendapatkan persamaan umum parabola horizontal yang berpuncak di O(0, 0).

 

Berdasarkan definisi, titik-titik pada parabola memenuhi FP = QP. Misalkan 2p adalah notasi untuk jarak tetap dari garis d ke titik F. Maka O(0, 0) adalah titik tengah KF, berjarak sama dari d dan F. Dengan mengambil titik puncak di titik asal O(0, 0) maka diperoleh koordinat titik fokus F(p, 0).

 

Ambil sebarang titik P(x, y) pada parabola, maka persamaan parabola ditentukan dari kondisi FP = QP; yaitu :

          

     

(x – p)² + y² = (p + x)²

x² – 2px + p² + y² = p² + 2px + x²

y² = 4px

 

Jadi persamaan parabola horizontal dengan puncak O(0, 0) adalah y² = 4px.

 

Persamaan garis direktriks didadapat dengan mencari jarak KO = p. Jadi garisnya adalah x = –p. Latus rectum adalah ruas garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus dengan sumbu simetris (sumbu-X).

 

Untuk x = p maka y² = 4p(p)

y² = 4p²

maka y₁ = 2p sehingga A(0, 2p) dan

y₂ = –2p sehingga B(0, –2p).

 

Panjang latus rectum = AB = 4p.

Untuk parabola vertical dengan puncak O(0, 0) dapat diperoleh dengan memutar (rotasi) persamaan parabola diatas sejauh 90°. Sedangkan untuk parabola yang berpuncak di P(a, b) didapat dengan cara menggeser (translasi) parabola menurut matriks. Berikut ini diuraikan rangkuman rumus-rumusnya :

 

a.     Parabola Horizontal dengan Puncak O(0, 0)

 

Parabola ini mempunyai bentuk Umum :

y² = 4px,

dimana : Koordinat titik fokusnya di F(p, 0)

persamaan direktrisnya x = –p

          Sumbu simetrisya adalah sumbu-x

Panjang latus rectum LR = 4p

Dengan catatan :

Jika p > 0 maka kurva membuka ke kanan

Jika p < 0 kurva membuka ke kiri.

 

b.    Parabola Vertikal dengan Puncak O(0, 0)

 

Parabola ini mempunyai bentuk Umum :

x² = 4py

 

dimana :  Koordinat titik fokusnya di F(0, p)

Persamaan direktrisnya y = –p

           Sumbu simetrisya adalah sumbu-y

           Panjang latus rectum LR = 4p

Catatan :

      Jika p > 0 maka kurva membuka ke atas

      Jika p < 0 kurva membuka ke bawah.

 

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

 

1.     Tentukan panjang Latus Rectum dari parabola 3y² – 18x = 0

 

Alternatif Pembahasan :

 

3y² – 18x = 0

3y² = 18x

   

Panjang Latus Rectum = 4p = 6 satuan.

 

2.     Tentukan titik fokus dari parabola x² = 32y

 

Alternatif Pembahasan :

 

  

 

Jadi koordinat fokus F(0, 8).

 

 

c.      Parabola Horizontal dengan Puncak M(a, b)

 

Bentuk Umum :                  (y – b)² = 4p(x – a),

 

dimana : Koordinat fokusnya di F(p + a, b)

Persamaan direktrisnya x = –p + a

          Persamaan sumbu simetrisya y = b

Panjang latus rectum LR = 4p

 

Dengan catatan :

     Jika p > 0 maka kurva membuka ke kanan

     Jika p < 0 kurva membuka ke kiri.

 

d.     Parabola Vertikal dengan Puncak M(a, b)

 

Parabola ini mempunyai bentuk Umum :       

(x – a)² = 4p(y – b),

 

dimana : Koordinat fokusnya di F(a, p + b)

Persamaan direktrisnya y = –p + b

          Persamaan sumbu simetrisya x = a

Panjang latus rectum AB = 4p

 

Dengan cataran

     Jika p > 0 maka kurva membuka ke atas

     Jika p < 0 kurva membuka ke bawah.

 

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

 

1.    Sebuah parabola dengan puncak di (3, –2) dan fokus di (4, –2). Tentukanlah persamaan parabola tersebut

 

Alternatif Pembahasan :

 

Bentuk Umum : (y – b)² = 4p(x – a)

Puncak di (3, –2), maka a = 3 dan b = –2

Fokus F(p + a, b) = F(p + 3, –2) = F(4, –2)  maka p + 3 = 4

          p = 1

 

Jadi persamaan parabola :     (y + 2)² = 4(1)(x – 3)

y² + 4y + 4 = 4x – 12

y² – 4x + 4y + 4 + 12 = 0

y² – 4x + 4y + 16 = 0

 

2.    Tentukanlah Persamaan parabola yang berpuncak di (4, 3), mempunyai sumbu simetri x = 4 dan panjang latus rectum 8

 

Alternatif Pembahasan :

 

Bentuk Umum : (x – a)² = 4p(y – b)

Puncak di (4, 3), maka a = 4 dan b = 3

Panjang latus rectum = 8 = 4p maka p = 2

 

Jadi persamaan parabola :     (x – 4)² = 4(2)(y – 3)

x² – 8x + 16 = 8y – 24

x² – 8x – 8y + 16 + 24 = 0

x² – 8x – 8y + 40 = 0

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Parabola. Please share...!