Hubungan Dua Lingkaran - 1

Sabtu, 12 November 2022

Garis kuasa dua lingkaran adalah suatu garis yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap kedua lingkaran tersebut.

 

AQ adalah kuasa titik A pada lingkaran L₁ dan AN adalah kuasa titik A terhadap lingkaran L₂. Sehingga berlaku AQ = AN.

Jika L₁ = x² + y² + A₁x + B₁y + C₁ = 0 dan L₂ = x² + y² + A₂x + B₂y + C₂ = 0 dan A(x₀, y₀) adalah salah satu titik pada garis kuasanya , maka berlaku :

AQ = AN

x₀² + y₀² + A₁x₀ + B₁y₀ + C₁ = x₀² + y₀² + A₂x₀ + B₂y₀ + C₂

A₁x₀ + B₁y₀ + C₁ = A₂x₀ + B₂y₀ + C₂

A₁x₀ – A₂x₀ + B₁y₀ – B₂y₀ = C₂ – C₁

(A₁ – A₂)x₀ + (B₁ – B₂)y₀ = (C₂ – C₁)

Jadi Persamaan garis kuasa pada lingkaran L₁ = x² + y² + A₁x + B₁y + C₁ = 0 dan L₂ = x² + y² + A₂x + B₂y + C₂ = 0 dirumuskan :

(A₁ – A₂)x + (B₁ – B₂)y = (C₂ – C₁)

 

Garis kuasa dua lingkaran selalu tegak lurus dengan garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran.

 

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:

 

1.     Tentukanlah persamaan garis kuasa yang mempunyai kuasa sama terhadap lingkaran x² + y² – 10x + 4y + 20 = 0 dan x² + y² + 6x + 8y + 8 = 0

 

Alternatif Pembahasan :

 

x² + y² – 10x + 4y + 20 = 0

A₁ = –10

B₁ = 4

C₁ = 20

 

x² + y² + 6x + 8y + 8 = 0

A₂ = 6

B₂ = 8

C₂ = 8

 

Sehingga garis kuasa :          (A₁ – A₂)x + (B₁ – B₂)y = (C₂ – C₁)

(–10 – 6)x + (4 – 8)y = (8 – 20)

–16x + (–4)y = –12

4x + y = 3

 

 

2.     Tentukan titik pada sumbu Y yang mempunyai kuasa sama terhadap lingkaran (x + 5)² + (y + 6)² = 34 dan (x + 3)² + (y – 1)² = 25

 

Alternatif Pembahasan :

 

x² + y² + 10x + 12y + 25 = 0

A₁ = 10

B₁ = 12

C₁ = 27

 

x² + y² + 6x – 2y – 15 = 0

A₂ = 6

B₂ = –2

C₂ = –15

 

Sehingga garis kuasa :           (A₁ – A₂)x + (B₁ – B₂)y = (C₂ – C₁)

(10 – 6)x + (12 – [–2])y = (–15 – 27)

4x + 14y = –42

2x + 7y = –21

 

Titik potong dengan sumbu-Y syaratnya x = 0

Sehingga :        2(0) + 7y = –21

7y = –21

y = –3

 

Jadi titiknya adalah (0, –3).

 

Dua lingkaran L₁ dan L₂ dikatakan ortogonal jika kedua lingkaran itu saling berpotongan dimana terdapat garis singgung g dan h yang saling tegak lurus.

Sehingga berlaku :

 

 

1.    Jika dua lingkaran x² + y² + 8x – 10y + 5 = 0 dan x² + y² – 12x – 10y + p = 0 saling ortogonal, maka nilai tentukan nilai p?

 

Alternatif Pembahasan :

 

Pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² + 8x – 10y + 5 = 0 adalah :

  

 

Pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² – 12x – 10y + p = 0 adalah :

  

  

 

 

Sumber

Labels: Matematika

Thanks for reading Hubungan Dua Lingkaran - 1. Please share...!